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pas celui d'une sphère, d'un sphéroïde, d'un a \\ conoïde régulier ou d’un cône, 6n n’en obtient A —— — "à L | 1K

pas moins le volume, au moins à très près, par la formule (E+F +4ab) * EF, En effet, on a toujours vol, côte tronqué AC=(surf. E + surf, F +4 surf. ed) X 4 EF, ce qui d'ordinaire offre déjà une approximation assez peu éloignée du volume désiré.

On a encore (par la formule) pour le volume du solide engendré par la révolution du segment BbC autour de l'axe EF, 4 fois la surface de anneau, dont la largeur est db, multipliée par un sixième de la hauteur EF ; or, menant les droites bC, bB, les solides engendrés par la révolution des triangles b4B, baC, en les considérant comme prismes triangulaires continus, auront pour volume la surface de l'anneau bd, leur base commune, par la moitié de la hauteur EF, où ce qui est la même chose, trois fois la surface de la base annulaire db-ae par un sixième de l& hauteur EF, ou vol. BbC=3 surf, bd * À EF, lequel ajouté à celui du cône tronqué composant AC du solide à

estimer, fournit une nouvelle approximation encore plus voisine que la première du volume requis, Il reste encore pour compléter le volume que doute la formule (E + + 4 ab) < 4 EF, le produit de % EF par une fois la surface de l'anneau décrit par bd, et pour couvrir ou rencontrer ce dernier produit on a les solides engendrés par la révolution des segments beC, bgB. Maintenant, il est clair que la somme de ces ideraiers est au solide engendré par le segment BbC, dans Je rapport près, des surfaces respectives de la somme des segments bB, bC au segments BC; or ces surfaces sont l'une à l’autre, à très près, comme {est à 43; d’où il suit que le reste (surf, bd x 1 EF) doit on vient de parler, correspondra sensiblement au volume de la son: des solides bB, bC qui vont à compléter le segment donné AB®L ; donc, .cte.

(128) Iteomarquons que la différence entre le vol, exact du segment proposé et son volume approximatif par la formule (E : F+4dab)E EF, ext toujours en plus, ce qui est dû en partie à ce que, en considérant le solide engendré par la révolution du segmeut BbC autour de l'axe EF comme un prisme continu, (où comme un anneatt solide ayan$ pour coupe le segment BbC) avee une longueur moyenne égale à la denit-somme des cireonférences «ab, ed, on prend cette longueur-un peu trop grande, puisque le prisme continu dont il s'agit perd plus de sa longueur en C qu'il n'en gagne en B; ce qui nous porte à observer aussi que puisque l'anneau solide engendré par la révolution du sgment BbC est plutôt un trone de prisme continu ou une suite de troncs de prismes, on en aurait assez correctementle volume en faisant (109% @.) le produit Ge la surface génératrice BbC (coupe du prisme par un plan perpendiculaire à ses côtés ou arêtes) par le tiers de 3 somme des circonférences en B, b et C (longueurs respectives des arêtes de l'anneau ou du trone) et l’on ajouterait encore à l'exactitude du volume à obtenir en multipliant la surface génératrice BbC de l'anneau par le cinquième de la somme des cinq circonférences en B, g, b, e et Cou par la somme d’un nombre quelconque de. éfivenférences (prises à des distances égales l’une de l'autre) divisés bar le nombre de ces circonférences.

(139) La règle qu'on vieut de donner pour obtenir le voiuine d’un segment de solide à surface convexe, s'applique également au segment d'un solide & suxface concave, la même démonstration pouvant servir dans les deux cas, comme l'indiquent les iettres dans la figure ; avec cette

réserve seulement que la différence entre le vol, exact et le volume

rapproché sera évidemment en moins au lieu d’être en plus, car dans

ce cas la longueur moyenne du trone de prisme continu ou de l'anneau solide engendré par kr révolution du segment PBbC est moindre que la moyenne à obtenir en faisant entrer en compte les cireonférences en Bet en C. On aura donc le volume, près, du segment AU, égal à la différence des volumes du trone de cône AC et de l'anneau solide dû à la révolution du segment BbC, c'est-à-dire, en faisant le produit du sixième de la hauteur EF par la somme des surfaces des bases AB, DC et de quatre fois la section ab à demi-distance entre

ces bases,

(440) La mème règle donnera encore avec une exactitude suffisante dans la pratique, le volume du conoîde AEB à surface concave, et souvent on ajoutera indéfiniment à l'exactitude du volume à obtenir par une subdivision continue du corps à estimer, en segments parallèles, de plus en plus petits et de hau-

teurs égales entre elles, Cependant dans la majorité des cas, il ne sera pas nécessaire de porter le nombre des subdivisions au delà de 3 où 5 pour s'assurer d’une précision suffisante dans le résultat.

(A4) An général on obtiendra à très près le volume d'un corps régulier où irrégulier quelconque OT en le divisant en tranches ou segments, par des plans parallèles à distances égales l'un de l'autre, L'on fera séparément par la formule prismoïdale (0 + AB +4 ab) 4 OP, le volume de chacune de ces tranches dont la somme sera le contenu solide du éorps proposé. On aura de cette manière pour volume du segment OAB, (surf, O + surf AB +4 surf, ab) ! OP, pour volume de la tranche suivante BC on aura (AB + CD + 4cd) 1 PQ, et ainsi de suite; d’où il est clair que le vol, entier du solidez0 + 4 ab+2 AB + 4 cdr-2 CD+4 ef+2 EF +etc. + MN) x1

OP ou PQ, ete., c'est-à-dire : à la somme des surfaces des extrémités 0, T, du solide donné, ou des bases extérieures de la première et de la dernière tranche, l'on ajoutera deux fois la somme des autres bases AB, CD, ete., de ces deux tranches et des autres tranches composantes, plus quatre fois la somme des sections ab, ed, ef, ete., de ces tranches, pour multiplier ensuite le tout par la sixième pautie de la hauteur OP où PQ, ete., de Pune d'elles; le résultat sera le volume du corps proposé, (formule £nalogue à celle du par, (238, ‘F.) pour obtenir la surface d’une figure plane quelconque.

(142) Il est clair aussi que pour arriver au £ volume d'un tronc ou segment quelconque ABab, de sphère, de sphéroïde ou de conoïde à bases non parallèles AB, ab, on n'aura qu'à faire séparément le volume du solide entier AB-E et celui du solide partiel ab-e pour prendre ensuite la différence de ces volumes. On aura de cette

sorte vol, AB ba=(surf, AB + 4 surf, section interméd, entre AB et E x 4 EF) moins (surf. ab + 4 surf. section interm. entre abet e x4ef).

(443) Faisons maintenant l'application de cette formule générale à la solution des divers problèmes qui y ont trait, (sauf cependant, le prisme ou cylindre, la pyramide ou le cône, le tronc de pyramide où de cône, et le prismoïde, dont on a déjà traité), et prenons aussi occasion de mettre en regard, dans certains cas, les résultats ainsi obtenus et ceux que fournissent les règles ordinaires, afin de pouvoir en comparer l'exactitude et la somme de travail nécessaire pour y arriver,

PROBLÈME XXXII

Trouver la surface d’une sphère.

(144) REGLE LE. Multiplic: (1OY1 G.) la circonférence d'un de ses grands cercles par son diamètre AF.

REGLE HI. JMultiplies (1072 G.) le carré de son diamètre ou quatre fois le carré de son rayon par .7854 et par 4, ou de suite par 3.1416.

Ex. —. Quelle est la surf. d’une sphère dont le diamètre est 7 ?

Rep. 153.981.

2. Le diam. d’une sphère est de 2! pouces ; quelle en est la surf. ?

Rep. 1809.5616.

‘%. Combien faudra t-il de pouces A earrés de dorure pour recouvrir une boule sphérique dont la circonféruve est de 73,54 pouces ?

Rep. 78.54-+3.1416=925=diam. et 78.54 x25=1963.4 p. c. 4. Quelle est la surf, de la terre si le diam. en est 7912 miles ? Rep. 196,663,355.7504.

106 OLEF DU TABLÉAU,

5. Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour ecuvrir un dôme hémisphérique dont le diamètre est de 33 pieds 4 piels ?

Rep. 331 x 334 x 7854 x 2=1755 pieds currés; car, si la surface de la sphère entièré vaut 4 grands cercles, il est clair que celle de l'hémisphère vaut ? grands cercles,

6. La voûte du rond-point d’une église est en forme d’un quart de sphère dont le rayon est de 15 pieds; on demande le nombre de verges d’enduits nécessaire pour en revêtir la surface ?

Rep. 30 x 20 x .7854+9=78.54 ou 784 verges; car, puisque la sphère entière vaut 4 grands cercles, le quart de sphère n’en vaut qu'un.

#. Quelle sera, à raison de 5 livres au pied carré, le poids d’une chaudière hémisphérique en euivre dont la circonférence est de 188} pouces ?

Rep. 188.5-3.1416 = diam.=60 et 188.5 x 60=11310 pouces carrés dont la moitié 5055+144=39.27 pieds carrés, cette surface multipliée par 5 (le poids par pied ce.) donne 196,35 livres.

(145) REGLE LI, Considérez la surface de la sphère comme un composé de trapèzes continus ou de zones d’égale largeur AB= BC =CD=DEZ=EF et procédez à la manière du paragraphe. (126, T.)

Ex. 1. Quelle est la superficie d’un hémisphère dont le diamètre est 263?

Rep. La circonférence=?63 x 3.1416 = 826.2408, le quart de circonférence 206.560? div. 36 en 5 parties égales, donne pour largeur aéveloppée d’une des zones composantes 41.31204, Les diamètres intermédiaires de ces zones obtenus au moyen d’une échelle de 40 unités au pouce, mesurent respectivement, comptant de la base au sommet, 250, 213, 145, et 82; la somme de ces diamètres intermédiaires plus la moitié (131.5) du diamètre 263 à la base, est 830,5 ; cette somme x 3.1416 donne la somme 2609.0988 des circonférences à entrer dans le calcul; cette dernière x 41.31204, largeur d’une des zones, donne enfin pour répouse 107.787 unités de surfaces.

REM. Les deux premières règles donnent chacune pour surface de l'hémisphère proposé 108.650.66 unités. La différence entre ces résultats est de 863.5, 863.5--108.650=008 près, c’est-à-dire que le taux d'erreur est de # de 1 pour cent à peu près. On en conclut que dans tout cas analogue, il suffira d'augmenter de .008 ou de .01, près le résultat obtenu par cette règle, pour être très voisin de la surface requise.

Ex. 2. Soit à opérer maintenant avec 10 sections ou zones au lieu de 5, le diamètre de l'hémisphère restant le même ?

Rep. Les 9 diamètres intermédiaires étant comme suit: £60; 950, 234, 213, 186, 154, 119, 82, et 42 leur somme + 131.5 (moitié du diam. 263 à la base) est 1671.,5, cette somme x 3.1416=5251.1844 pour 1 somme des circonférences à servir d’élément au calcul proposé; la largeur d'une des zones composantes sera dans ce cas ,! du quart de circonférence, c'est-à-dire 862.2408 + 4+ 10 ou de suite par 40=20 65602 ; or, 5251.1844 x 20.,65602=108,468.57 ; on a déjà vu que le résultat exact est 108.650,66 ; la différence de ces résultats n’est plus que 182 qui équivaut à .0017, c’est-à-dire que le défaut n’est plus que du + de 1 pour cent.

, Ce taux d'erreur ajouté au résultat de toute autre opération analogue donnerait done à peu de chose près, une approximation assez voisine de la vérité.

Ex. 3 Voyons maintenant en quoi l’on ajoutera à la précision du résultat, en opérant la solution du même problème, au moyen d'un nombre additionnel de subdivisions, soit 20 par exemple.

Rep. Les diamètres intermédiaires sont 262, 260, 256, 250, 243 931,224, 213, 200, 186, 171, 154, {38, 119, 101, 82, 62, 42, 21; la somme des diamètres intermédiaires +le demi-diam. à la base = 3349.5 ; multipliant par 3.1416 et par 10.323801 (largeur d’une des sections) l'on a 108,679.5 contre 108,650.66 la surface. La différence est dans ce cas en excès au lieu d’être en défaut de la surface voulue comme elle devrait l’être (426) et comme elle le serait en effet si l’on avait calculé les diamètres intermédiaires des zones composantes au lieu de les obtenir graphiquement ou mécaniquement, comme on l’a fait à l'aide d’un diagramme en petit sur le papier et d’une échelle de puties égales. Cette différence ou excédant n’est cependant que de 29 unités sur 108,650, soit de .00027 ou moindre que 4 de 1 pour cent; elle est due à ce que l’on ait négligé en mesurant les diamètres intermédiaires, les fractions d'unités qu’on pourrait au besoin faire entrer en compte; mais avouons que dans la pratique un résultat qui comme celui-ci ne s’éloignerait de la vérité que de 5355 80it en plus ou en moins, équivaudrait à une exactitude parfaite.

(146) RE. Si nous mettons cette troisième règle an nombre de celles dont on peut faire usage pour déterminer la surface d’une sphère ou partie de sphère; ce n’est pas qu’on trouverait à propos d'en faire l'application pour arriver à la surface d’une sphère proprement dite ou à la solution de tout problème analogue pouvant se résoudre par des règles plus simples et plus directes ; mais c’est que

dans la pratique, il est assez rare que l’on ait affaire à une sphère parfaite, à une partie de sphère parfaite, à un sphéroïde ou partie de sphéroïde proprement-dit, à un paraboloïde ou hyperboloïde exact, ou en général à un solide de révolution, dont la courbe génératrice soit une exacte section de cône, telle que le cercle, l’ellipse, la parabole et l'hyperbole. Il est done évident que dans tous les cas où l’on n'aurait pas à opérer sur un sphéroïde au conoïae parfait, ou dont lon ne pourrait établir l'espèce que par un travail préliminaire eonsidérable, il vaudra mieux procéder de suite par la Règle ITT que de recourir à une autre règle qui n’aurait pas exactement trait, ou ne s’appliquerait pas avec précision au problème proposé.

(14%) Ajoutons aussi que si la surface à estimer au lieu @étre partout d'égale courbure comme celle de la sphère, était, comme celle d'un paraboloïde, ete., de courbure inégale, l’on pourrait, avant de procéder à la subdivision en zones d’égales largeurs, diviser d’abord la sarface à estimer en deux ou plusieurs parties que l’on subdiviserait ensuite en un moindre ou plus grand nombre de zones suivant le moins ou plus de courbure dins la partie correspondante de Pare générateur. L'on calculerait alors séparément les pai‘ies @inégale courbure pour prendre ensuite la somme de ces parties.

(148) D'ordinaire aussi, le meswreur ou géomètre, ne perdra pas de vue, en s'enquérant du degré de précision à apporter dans l'exercice des détails de son art, l'importance de ne pas dévouer à la solution d'un problème, un travail et un temps que ne justifieraient pas les circonstances. Il serait par exemple oiseux, disons même injuste, que pour établir à un millionième, millième, centième ou à tout autre unité près du résultat exact, une surface où un volume proposé, on y dévouât un travail qui en fit coûter aux intéressés plus qu'une fraction de la valeur de telle unité. Nous disons “ d'ordinaire,” car il est clair qu’il peut y avoir des circonstances, soit dans une question ou cause en litige, où les frais de faire droit aux partie; peuvent dépasser et dépassent en effet souvent dans une proportion illimitée la valeur de l'enjeu.

PROBLEME XXXIII

Trouver le volume d’une sphère.(Voir le tableau.)

REM. Un plon ou surface plane RS ne touche la sphére qu’en un seul point D ; donc les surfaces des extrémités ou bases opposées et parallèles D, M sont chaäcune nulle ou =0, ce qui réduit la formule dans le cas de la sphère à multiplier 4 fois la surface d’un grand

cercle, c’est-à-dire, d'une section où coupe passant par le centre C, par la sixième partie de la hauteur DM perpendiculaire à eette section.

(19) REGLEZ Jultipliez (1075 G.) la surface par le tiers du rayon.

REGLIE EH, Cubes (AKOS, 10 ) le ditmètre et multipliez le nombre ainsi trouvé par &T ; c'est-à-dire, par 0.5236 ou le volure d'une sphère dont le diam.

estl ; car (1084 &.) les solidités ou volumes de deux sphères quelconques sont comme les cubes de leurs diam.

REGILE HAN JMultiplies 4 fois la surface d'une section de la sphère à

distances égales de ses extrémités où sommets opposés par le sirième de La hauteur perpendiculaire à cette section. Cette règle, dans le cas de la sphère, est évidemment analogue à la première, car la surface de la sphère vaut 4 grands cercies, le grand cercle est la section de la sphère par un plan passant par le centre C, c’est-à-dire, à distances égales de deux points opposés D, M, de sa surface, et le Gème de la hauteur DM n’est que le 6ème du diamètre ou le tiers du rayon.

Ex. 1. Quelle est le volume d’une sphère dont le diamètre est 12? Rep. 12 x 12 x 12 x .5236—904.7808.

2. Si le diamètre moyen de la terre est de 7918.7 milles, quel en est le volume en milles cubes ?

Rep. (7918.27) x 5236—9259,992,792,082,6374908 m. cub.

&. Une flèche de clocher est terminée par une boule sphérique dont le diamètre est de 2? pieds ; quel en est le volume ?

Rep. 23 *?22=7}=7.1111111, 7 x22=18.6666566, 22 x 2.6666666 + 9=—2962962, 18.6666606 + .2962962 = 18.9629529— (223 18.9629629 x .5236—9,9290074 pieds cubes.

4. Quel est le contenu solide d’un boulet de canon d’un diamètre de 10 pouces ?

Rep. 10°—1000, et 1000 x ,5236:=523.6 pouces cubes.

5. Combien faut-il de pouces cubes de poudre à tirer pour remplir un obus dont le diamètre intérieur est de 12 pouces ?

Rep. 12 x 12 x .7854 x dou 12° x 3.141 = 452,3004 = surface de la sphère et cette surf. x +} rayon ou & diuu., c’est-à-dire, par 2, = 904,6808 pouces cubes.

6. Combien de pieds cubes d'air contiendr” ‘me bouée en forme

de sphère d’un diamètre int. de 10 pieds ? Rep. 523.6 pieds cubes.

7. Une boule en pierre a 3 pieds de diamètre ; quel en est le poids à raison de 150 livres au pied cube ?

Rep. 3 43 <3*.5236 x 150—2120,58 livres,

8. Combien de gallons de liqueur (231 pouces cubes au gallon) pourront trouver place dans une chaudière hémisphérique de 10 pieds de d;, se ?

Rep. Le contenu du vaisseau en pieds cubes= 10° x .5236<+9 = 261.8, le nombre de gallons par pied eube=1728 pouces cubes + 931 =7.4805195, soit 74, et 261.8 x 74=19634 gailons, ou plus correctement 261.8 x 7.48 =1958.96 gallons.

9. Une voûte hémisphérique de l'épaisseur uniforme d’un pied, mesure 10 pieds de diam. intérieur ; combien a-t-il fallu de briques pour le construire, à raison de 20 briques au pied cube ?

Rep, Il est clair que la solidité voulue est égale à la différence des volumes des hémisphères extérieur et intérieur ; or, l'hémisphère ext.=12 x.5236 : 2452.30 pieds cubes, l'hémisphère int, —10 x .5236 +2=261.8 pieds cubes ; la différence de ces volumes est 190.59 pieds cubes et 190.6 x 20=3812 briques.

10. L'épaisseur d’une bombe est de 5 poures et sa circonférence extérieure de 62.83 pouces; quel en est le poids, à raison de 480 livres au pied cube ?

Rep. On a pour diam. ext. de la bombe 62.83 + 3.1416 = 20 pouces ; done le diam. de la partie évidée est 10 pouces ; maintenant le volume de l1 bombe est la différence des volumes des sphères ext. etint. Le vol. de la sphère ext. =20 | X .9930 =4188.8, le vol. int.= 10° x .5236 =5%3.6, la différence de ces volumes est 3665.2 pouces cubes ; puis, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes: 480 livres pesant :: 3655.2 pouces cubes : 1018 livres pesant.

PROBLÈME XXXIV

Déterminer la surface convexe d’une calotte (segment) sphérique ou d’une zone (') sphérique quelconque.

(150) REGLE LE. Multipliez (1073 G.) la hauteur 00, OC de

1. La calotte sphérique est une partie quelconque a&ebC de la sphère, enlevée de la sphère entière par un plan de section «eb, petit cercle de la sphère.

La zone sphérique est une partie quelconque weL-AEB de la sphère comprise entre deux plane parallèles ab-AB, Elle est, suivant le cas, latérale, centrale, excentrique.

la calotte ou la hauteur Oo de la zone par la cireun férence d'un grand cercle de lu sphère ; le produit sera la surface voulue.

REM, Si le diamètre de la sphère n’est pas donné on le trouvera aisément par la méthode du par.

(540 G.) en divisant le carré du rayon de la base du segment paï la hauteur, pour avoir le reste du dia mètre ; le reste ainsi trouvé + la hau.

teur donnée sera le diamètre voulu de la splière.

Ex. Le diamètre d’une sphère étant de 42 décimètres, quelle est la surface convexe d’une calotte dont la hauteur est 9 décimètres ?

Rep. 42 x 3.1416=cire. 1319472 laquelle x 9 = 1187.5248 décimètres carrés.

2. Le rayon de la base d’un toit de vide-bouteille en forme de calotte sphérique, est de 10 pieds, la hauteur du toit est de 4 pieds.

Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour le revêtir.

Rep. 10 --4=25, 25 + 4=diam. de la sphère=99, 29 x 3.1416= cire. 91.1064, puis 91.1064 x 4=364.4256 pieds carrés. 8. On demande la surface d’un couvercle de chaudière en forme

de calotte sphérique dont la circonférence est de 91.1 pouces et la hauteur 10 pouces ?

Rep. 91.1--3.1416—29=diam. du couvercle dont le rayon est en conséquence de 145 pouces ; pour avoir le diam. de la sphère dont la calotte fait partie, on a (14.5) + 10=21.025= le reste du diam. dont la hauteur du couvercle fait partie; done le diam. voulu=21 025 + 10= 31.025, ce diam. x 3.1416 =97.46814= cire. d’un grand cercle, cette dernière x 10 donne 974.6814 pour la surface convexe voulue en pouces carrés.

4, Un dôme hémisphérique dont on a enlevé une calotte pour y asseoir la base de la lanterne qui le couronne, présente en conséquence la forme d’une zone sphérique ou d’un segment sphérique à deux bases ; on demande à en déterminer la surface convexe, sa hauteur étant de 9 mètres et le diamètre de la sphère dont il fait partie de 20 mètres ?

Rep. 20 * 3.1416 = cire. 62.832 et 62.832 x 9 = 565.488 mètres carrés.

112 CLEF DU TABLEALU.

(4151) REM. Si le rayon ou diam, de la sphère dont une zone fait partie n’est pas connu et que les seules données soient les rayons ou diunètres des bases inf, et sup. du segment et la hauteur ou distance perpendiculaire qui les sépare, le paragraphe (574 G.) fournira la méthode d'arriver au rayon voulu ; mais on y parviendrait tout de même et d’une manière plus expéditive et assez exacte dans la pratique par un simple procédé graphique qui permettrait de déterminer de suite le rayon voulu ou diam. de la sphère, à laide de la même échelle qui aurait servi à fixer sur le papier les proportions et positions relatives des données, le centre du cercle pouvant alors se trouver facilement par tâtonnement, c'est-à-dire par des essais répétés sur la perpendiculaire (prolongée S'il le faut) qui relie les centres des deux cordes données.

5. Les dianiètres des bases inf, et sup. d'un toit en forme de segment de sphère mesurent respectivement 16 et 12 mètres, et la hauteur ? mètres; quelle est la superficie de la zone qui forme la surface latérale ou convexe du toit.

Rep. On obtient (574 @) soit par calcul où par construction graphique le diamètre 20 de la sphère dont le segment fait partie. Ce diam. donne pour circonférence 62.832, cette cire. x 2, hauteur du toit, donne peur sa surface convexe 135.664 mètres carrés.

6. Quelle est la surface convexe d’une calotte de 212 pouces de hauteur enlevée d’une sphère de 6 pieds de diam.

Kep. 4840,577 pouces carrés.

7. Sile diam. de la terre considérée comme sphère parfaite est de 7970 milles, la hauteur de la zone glaciale sera de 252.361283 milles; quelle en est la surface ?

Rep. 7970 x 3.1416 x 252,361283=6,318,761 milles carrés.

S. Quelle est la surface de l’une des 10 sections composantes ou compartiments d’une voûte où d’un dôme en forme de cxotte sphérique, le diamètre inférieur de la calotte ou de sa base étant de 40 pieds et sa hau’eur de 10 pieds ?

Rep. Le reste du diamètre de la sphère dont la hauteur 10 de

la calotte fait partie est (53% G.) (440) * + 1040 et le diamètre entier par conséquent=40+10=50, la circonférence=50 x 3,1416= 157.08 et la surface entière de la calotte=157.08 x la hauteur 10= 15708 ; donc la surface de la section proposée est de 1570.8-+ 10 157.08 pieds carrés.

(152) REGLE ET. Divisez la surface à estimer en zones d'égale largeur, et procédez ensuite à la manière du par. (126, T.)

Ex. 1. La circonférence inf. d’une zone sphérique, ou qui a l’air de l'être, mesure 260 pieds, sa circonférence sup, 213 pieds, et deux circonférences intermédiaires équidistantes 250 et 234 pieds, la longueur de l’are générateur est de 15 pieds, et la largeur développée d'une des trois zones composantes est en conséquence de 5 pieds ; quelle est la surface de la zone entière ?

Rep. + 260 + 250 + 234+4213 = 720.5, cette somme x 5=3602.5 pouces carrés près.

2. La voûte ou le plafond cintré d’une pièce circulaire en forme de calotte sphérique a pour diam. inf, 186 décimètres, et pour diam. intermédiaires de cinq zones composantes 154, 119, 82 et 42 décimètres, la longeur de la courbe genératrice, c’est-à-dire, la distance curviligne du centre de la voûte à sa naissance est de 103 décimètres 28 millimètres ; quelle en est la surface concave ?

Rep. 103.28 décimètres = 5 = 20.656 = largeur d’une des zones composantes, & diam. inf.=186 +2 = 93, 93 + 154 + 119 + 82 + 42=490, 490 x 3.1416 = 1539.384 somme des circonférences à entrer dans le calcul, puis 1539.384 X 20.656 = 31,797.5 décimètres carrés ou 317 mètres carrés 974 décimètres carrés, puisque le mètre carré est de 10

x 10=100 décimètres carrés et qu’en reculant de ? places le point décimal on divise par 100.

PROBLÈME XXXV

Déterminer la solidité ou le volume d'une calotte ou segment sphérique ou d’une zône sphérique

quelconque.—({Voir les modèles du tableau.)

(153) REM. KL La calotte ou segment sphérique &ebC ou aeb D (voir la figure du paragraphe (156)) peut être moins grande ou plus grande qu’une hémisphère ou égale à une hémisphère si le plan de section passe par le centre O de la sphère. Dans tous les cas la formule générale en donne le volume exact. De même, la zone sphérique peut être latérale, centrale ou excentrique. On la dira latérale lorsqu'elle sera la zone d’une hémisphère comme celle qui dans la figure est comprise entre les plans de section, cercles parallèles AEB, aeb. Elle sera centrale si ses plans de section, bases opposées ou limitatives sont également éloignées du centre O de la sphère et excentrique, si ces bases sont inégalement éloignées du centre.