CLEF HU TABLEAU
(154) REM. KI. Pour obtenir dans le segment sphérique le diamètre de la section centrale où médiane, il suffit de se rappeler (539 G.) que la demi sorte & 0 (ysyez la figure du paragraphe (456)) est moyenne proportionnelle entre le sinus-verse 0 C hauteur du segment et le reste 0 D du diamètre, Saic donc AEB-C un segment quelconque de sphère, et « # b sa coupe médiane, c’est-à-dire telle que l’on ait Oo=oC=40C ; alors comrae OC, hauteur du solide, est connue, on aura 0 C=40C et l’on trouvera o « ou ob=4ab=VoCxo D. Soit encore & e b D le segment à toiser, et soit AEB sa section médiane passant par un point O à demi distance entre o et D. Connaissant 0 D et :1r conséquent OD=# 0 D, où aura OB où OA=YAB=VOD x OC, ou en mesurant directement le diamètre voulu du corps à évaluer.
(55) REDE. FIX. Pour obtenir dans la zone spérique ABDC, par exemple, le diam. de sa coupe intermédiaire ; on fera tout d’abord, si on ne le connait par avance, le rayon OB ou OF de la sphère dont la zone à toiser fait partie.
A cet effet (574 &.)jla figure plane ABCD étant la coupe verticale du segment sphérique dont il s’agit, on obtiendra EF=CE x ED+AE, alors AF-+-AE
où GH+EF et dam. BF=YAB"+AF". Le rayon OB étant main-
tenant connu=+BF, on aura 0G=VOB"—BG", ou OH=VOC*—CH”, ou, après avoir trouvé OG ou OH on aura OH=GH—O0G où OG=GH —0OH, maintenant, si l’on suppose la ligne GH prolongée de part et d'autre jusqu’à la circonférer.ce en X Y, on aura GX=0B—O0G et HY=0B—OH et de là on aura facilement, comme dans Rem, EX, le diam. intermédiaire à mi-chemin entre AB et CD.
(156) REGLE I. Multiplies: (1088 G.) la demi-somme des surfaces des bases parallèles par la hauteur du segment ; ajoutez à ce produit le volume d'une sphère dont le diam. soit égal à la hauteur du segment : la somme de ces deux voiumes sera la solidité voulue.
RETME. Quand le segment n'a qu’une seule base, un considère l’autre =0.
REGLE KE. À x: somme des surfaces des bases inf. et sup. du segment, D ajoutez 4 fois la surface d'une section à distances égales de ces bases, et
lOISÉ DES CORPS OU SOLIDES. 115
mullipliez le tout par la sixième partie de la hauteur ; le résultat sera le volume demandé (18€ "T.).
Ex. 1. Quel est le volume d’un segment formant partie d’une sphére dont le diamètre est 40, les distances respectives du centre à chacun des plans de section étant 16 et 10 ?
Rep. Il nous faut déterminer tout d’abord les surfaces des bases parallèles du segment donné ; or, les diamètres de ces bases sont des cordes parallèles d’un grand cercle de la sphère, éloignées du centre du cercle, Pune de 16 et l’autre de 10 unités de mesure, les segments du diamètre de grand cercle perpendiculaire à ces cordes sont respectivement, de l’une d'elles, 16+20=36 et 40—36—4, de l’autre, 10+20=30 et 20 — 10=10 ; maintenant on a (540 G.) 36 x 4=144= le carré de l’une des demi-cordes et 30 x 10=300= le carré de l’autre demi-corde; ces carrés multipliés chacun par .7854 et par 4 ou de suite par 3.1416, donnent 452.3904 et 942.48 pour surfaces voulues des bases parallèles, La somme de ces surfaces =1394.8704, cette somme x 3, le demi-hauteur (16 —10) du segment, ou la demi-somme de ces surfaces x 6—4181.6112= partie du volume requis; le reste du vo:ume requis = 6 x .5236 = 113.0976= vol. d’une sphère dont la hauteur est 6. Ces deux volumes réunis donne 4297.7088 pour la solidité du segment proposé.
2. Le même exemple par la Règle II donne pour surface à demidistance entre les bases parallèles 33 x 7 = 231=le carré du rayon de la base ou section intermédiaire, ce carré x 4 donne le carré du diam. de cette base ou section, et ce dernier carré x.7854 en donne la surface =725.7096, 4 fois cette surface=290£.8384 à laquelle ajoutant la somme des surfaces des bases on à 4297.7088 pour le volume requis, car + “auteur=1 et multiplier par 1 ne change pas la valeur du multiplicande.
3. Combien de pieds cubes de liqueur pourra contenir une chaudière hémisphérique d’un diamètre de 10 pieds ?
Rep. On a vu (434, T.) que dans l'hémisphère la surface de la coupe ou section intermédiaire également éloignée de la base et du sommet du solide vaut les # de la surface de la base ou d’un grand cercle de la sphère ; or, on a pour surface de la base sup. de la chaudière 10 x 10 x .7854=78.54 pieds carrés; mais 4 fois ?=3 et trois fois 78.54 + 78.54—4 fois 78.54=314.16, puis 314.16 x 4 hauteur =314.16 x 5-+-6—261.8 pieds cubes.
(15%) REM. Dans le éas de l'hémisphère. comme dans la sphère entière, la Régle II n'offre aucun avantage, et au contraire, elie donne plus de travail, puisqu'il est plus simple pour arriver au ré-
sultat voulu, de cuber de suite le diamètre, multiplier ce cube par .5236, et prendre la moitié du produit pour le volume de l'hémisphère.
4, Combien de gallons d’eau pourront trouver place dans un réservoir en forme de calotte sphérique d’un diamètre de 100 pieds et de 20 pieds de profondeur, à raison de 74 gallons au pied cube ?
Rep. Par la première règle, on a le vol. requis=surface de la base du segment (c’est-à-dire, la surface sup. du réservoir) x la hauteur (profondeur verticale du réservoir) -?, plus le vol. d’une sphère ayant pour diamètre cette hauteur; c’est-à-dire, le vol. requis= (100 x 100 x ,7854 x 20-+-2—78540) + (20 x 20 x 20 x ,5236—=4188.8) = 82,728.8 pieds cubes x 7.5=620,466 gallons.
Rep. Par la deuxième règle, on a d’abord (540 G.) pour reste du diam. de la sphère ou du grand cerele dont la hauteur du réservoir fait partie (4100) pe 20=195, 125 +10 (demi-distance de la surface au fond)=135, 135 x 10=1350=rectangle du segments du diam.= carré du demi-diam. de la section intermédiaire, ce carré x 3.1416= 4241.16=surf, section interm., 4 fois cette surf, + la surf, de la base du segment=?24,818.64, cette somme x 20-6—82,728.8 pieds cubes, comme auparavant.
(158) REMT. Le choix à faire entre les deux règles pour la solution de ce problème reposera quelquefois sur la nature des données, mais surtout sur le doute qu’il pourrait y avoir quant à l’espèce particulière de la figure à estimer, et l'emploi de cette formule exemptera la nécessité de s’enquérir tout d’abord de la nature exacte du solide proprosé. Ainsi, si le réservoir à mesurer était un segment de sphéroïde, un paraboloïde, ou un hyperboloïde ou tout autre figure ressemblant à peu près à celle qu’on vient d’énumérer, la règle II en donnerait dans tous les cas le volume exact (127, 'E.), ou à très près, tandis que si si l’on traitait comme partie d’une sphère proprement-dite uue figure qui ne le serait pas et qu’on la calculât par la règle applicable à la sphère, on pourrait se tromper grièvement dans le résultat.
5. Un bassin dont la forme paraît être celle d’une calotte sphérique, a pour diam. sup. 15 pouces, pour diam. à demi-profondeur, 1? pouces, et pour profondeur ou hauteur 7 pouces; quelle en est la capacité en gallons de 231 pouces cubes ?
| Rep. Surface sup.=15 x 15 x .7854=176-715 pouces carrés, surf. intermédiaire=—1?2 x 12 x .7854=113.0976, surf. base + 4 surf, intermé-
diaire=629.1054, cette somme x 7--6=734 pouces cubes près; divi- sant par 231 ou a 3.18 ou 3£ gallons près pour capacité du vaisseau proposé,
6. Le vide ou l’espace sous un dôme ou plafond cintré d'une pièce cireuluire, présente l'aspect d'un segment de sphère à bases parallèles dont les diamètres mesurent respectivement 19,9 mètres et 8,718 mètres, le diamètre du dôme à distances égales de ses bases est de 17.32 mètres; on demande le nombre de mètres cubes d'air à chauffer, Ja hauteur étant de 8 mètres ?
Rep. (19.9) *x.7854= 8396 x ,7851=311.02, (8.718) =76 et 76 x 7854= 59.65, (17.32) =300 et 300 x .7854 x 4—942,48, la somme 1313 .19 de ces surfaces x8-6=1750.92 mètres cubes, ou, ce qui est la même chose et plus simple (19.9)2 + (8.718)2 + 4 (17.92) 2 x .7854 x B+ 6= vol,
7. Un vaisseau en forme de tronc de cône est terminé par un fond qui a Y’air d’être une calotte sphérique. Le diamètre inférieur du vaisseau est de 12 pieds, le diamètre intermédiaire de la calotte est de 8.72 pieds, et sa hauteur de 2 pieds; combien y aura-t-il à ajoutet au contenu du corps du vaisseau pour avoir sa capacité entière ?
. Rep. (12; +4 (8.72) x .7854 x 2+6—117.3 pieds cubes, (où on a pris (8.72,=476; car, 6 ou (412) +2 == 18,18 +2 == dinm. de la sphère dont le segmeut fait partie. Maintenant le demi-diam. interm. == #19 x} où ie diam. == 4/4 fois 19 == 76 == 8.72 près) et 117.3 x 74= 889 gallons p:ès.
PROBLÈME XXXVI
Déterminer le volume d'un onglet sphérique, et la sur-
face de la lune qui lui sert de base.
(Voir le tableau.)
8&EM. L'onglet sphérique est une partie de ia sphère solide comprise entre deux, demi grand cercles ADC, EDC se rencontrant sous un angle quelconque, aigu, droit où obtus AOE et son volume est évidemment à celui de la spuère entière comme son angle ÂOE est à 366° ou comme sou are AE à la cire. entière, d’où il suit évidemment que son volime se fera de suite
par la suivante :
REGLE KE. Multipliez 4 fois la snrface du secteur de cercle AOE pur + du dim. CD, longueur ou hauteur du segment sphérique ; car les
surfaces des bases ou extrémités opposés Cet D sont chacune égale à zéro,
(159) REGLE EN. l'ailes d'abord (4079 Gi.) la surface, puis le volume de la sphère entière dont l'onglet fait partie, Divisez ensuite celle surface et ce volume par le rapport entre l'angle de l'onglet et 360° ; le résultat sera la surface et la solidité voulues.
Ex. 1. On demande la surface et le volume d'un onglet de sphère dont l’angle est de 60° et le diamètre 10 ?
Rep. La surface de la sphère entière = (144 G.) 10 x 3,1416 x 10=314.16 unités, le rapport de 60° à 360°=,1,, donc 314,46 + 10 = surface voulue=31,416,
Le volume de la Ru entière = (149 @.) 10 *,5236— 523.6, ce vol, divisé par le rapport ;; qu’on vient d'établir, donne 52.36 pour volume de longlet proposé,
2. L'un des compartiments de la voûte intérieure ou de la toiture extérieure d'un dôme, présente la figure d’une demi-lune sphérique, le diamètre du dôme est de 100 pieds, et le pourtour en est divisé en 16 parties ou sections par des nervures menées du sommet à la naissance ; on demande la surface d’une des demi-lunes composantes ?
Rep. La surface entière de la sphère dont le dôme fait partie
= 100 x 3.1416 x 100 - 100 x 3. das = 10000 * 3.1416 = 31,416 pieds carrés, cette surface divisée par 39, puisqu'il y a 32 demi-lunes dans la surface entière, donne pour tisse voulue 9814 pieds carrés.
(160) REGLE HEX. Jultipliez la longueur de l'aïe qui mesure la largeur de la lune par le diamètre de la sphère dont elle fuit pariie ; le produit sera la surface voulue. La surface ainsi obtenu (ou telle qu'élablie par la première règle) multipliée par le tiers du rayon donnera le volume demandé.
Ex. 4. Combien y a-t-il de mètres carrés de soie dans l’une des sections composantes d'un ballon sphérique dont le diamètre est de 10 mètres, et le nombre des laizes composantes 36,
Kèep. La circonférence entière du ballon étant de 10 x3.1416 = 31.416 mètres et le nombre de are nent 936, il suit que la largeur de la laize sera de 31.416 -- 36 - 8725 mètre, puis, 872$ x diam. 10 = 8.72$ mètres carrés = surface demandée.
2. Il y à à remplacer l’un des 10 onglets composants d’une boule en bois de 30 pouces de diamètre, on demande le volume et la surface convexe de l'onglet.
Rep. La cire. de la boule =30 x 3.1416—94.243, d’où il suit que la largeur de l'onglet 94.248 - 10=9,4248, cette rieur x diam. 30
donne pour surface de l'onglet 289% pouces carrés. Le volume=la surfuce » ie tiers du ruyon=%82.744 x 15--3=982,744 : 30-6282. 74 x 10- 2 = 9897.44 = 9 = 14134 pouces cubes ou 1413.79 + 1728 (nombre de pouces scies dans un pied cube) = ,82 près d'un pied cube, soit les quatre cinquièmes d’un pied cube,
#8. On demande le nombre de toises (87 pieds cubes anglais à la toise) de maçonnerie dans l’un des 8 compartiments d'une voûte hémisphérique dont le diamètre int, est de 4) pieds et l'épaiss ur de la voûte-3 pieds ?
ep. Il est clair (1083 G.) qu'on aura le volume demandé en faisant la différence des demi-onglets composants des hémisphères intérieur et extérieur de la voûte proposée. Or, le diam, int. étant 30, le volume de la sphè re=30 x ,5236 = = 14137, le vol. de la sphère ext. = = 36 x .5236= 24 429, le différence (24129 — 14137 =10292) de ces volumes divisée par le nombre (16) des demi-onglets composants de la sphère entière, donne pour volume du compartiment G1434 pieds cubes, divisant ce dernier nombre par 87 on a 7 toises 314 p. cubes,
Ou, approximativement, en multipliant la demi-somme des surfaces ext, et int. du compartiment par l'épaisseur de la voûte ; on a surface de la spère int. 30 x 30 x .7854 x 4 ou 30 x ,3.1416 = 2827.44 dont la moitié 1413.72 est la surface intérieur de la voûte entière, la
surface de la spère ext. = 36 *X 9,1416 = 4071,5136 dont la moitié 2035.7568 est la surface extérieure de la voûte entière, la somme 3149,4768 de ces surfaces + 8 est la somme des surfaces ext, et int, de la section de voûte à estimer, et cette dernière somme 431,1846 x 14 (demi-épaisseur pe la voûte) où la moitié de cette somme multipliée par l'épaisseur entière de la voûte, donne pour contenu cubique du compartiment 646? pieds cubes, ou 7 toises 374 pieds cubes, (161) REM,. Nous disons ‘ approximativement,” et en effet, le solide à estimer n’est autre chose qu’un tronc de pyramide sphérique compris entre bases pärallèles. La pyramide sphérique, comme la pyramide ordinaire, à pour volume (k@S2 @.) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais, s’il était vrai que l’on pût arriver au volume d’un tronc de pyramide en multipliant la demi-somme de ses bases parallèles par la hauteur du tronc, il arriverait aussi que l’on obtiendrait correctement le volume de la pyramide entière égal au démi-produit de sa base par sa hauteur ; car si l’on suppose que la hauteur du tronc augmente indéfiniment, cette hauteur devindra enfin égale à celle de la pyramide entière, et sa base supérieure cessera par à même d'exister ou deviendra 'égale à 0; dans ce cas la demisomme des bases opposées sera la demi-base de la pyramide, et la
120 OLEF DU TABLFAU,
règle donnerait alors pour volume de la pyramide, le demi-produit de sa base par sa hauteur ; mais le volume de la pyramide est an centraire le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; et la différence entre &et kest }, donc l'erreur de la méthode approximative pourrait aller dans un cas extrême jusqu'à 16% pour cent, Dans l'exemple ci-dessus l'erreur en plus n'est que de 34 pieds sur 643 pieds ou de + pour cent à peut près, et serait encore moindre si le diamètre de la voûte était plus grand relativement à son épaisseur, ou ce qui est la mème chose, si la hauteur ou épaisseur du tronc à estimer formait une plus petite partie de la hauteur entière de Ja pyramide dont le tronc foit partie.
PROBLÈME XXXVII
Trouver le volume d’un secteur sphérique.
(Voir les modèles du tableau.)
(162) REDE. EH. Le secteur ou cône sphérique est, comme l'indique son nom, une partie quelconque de la sphère solide comprise entre et ayant pour base une culotte sphérique et pour paroi latérale la surface engendrée par la révolution d'un rayon de la sphère autour de la circonférence du petit cercle de Ia sphère servant de base à la calotte, On peut considérer le cône shérique sous deux points de vue et le toiser en conséquence ; 12 comme secteur sphérique où comme pyramide sphérique infinitaire pour en obtenir le volume en ajoutant à la surface de sa base sphérique 4 fois la surface de la base sphérique imaginaire parallèle à la première et située à mi-distance entre la surface extérieure et le centre ou en d’autres termes ; entre la base et le sommet, tout comme pour pour une pyramide ou cône ordinaire. Or il est évident que comme dans le cas de la pyramide et du cône proprement-dits ou à bases planes, la surface de la coupe médiane vaut le quart de celle de la base, ce qui réduit la méthode de ecuber le cône ou le secteur sphérique à celle énoncée dans la règle ci-dessus donneé. 22 comme composé d’une calotte spherique et d’un cône droit que l’on toisera séparément par les règles déjà données pour en prendre ensuite la somme des volumes composants. Cette méthode d'agir, dispense evidemment des connaissances nécessaires pour arri-. ver à la surface convexe de la base du secteur à évaluer et réduit tout le travail à celui d'obtenir les surfaces respectives du cercle servant de base commune au cône et à la calotte composants, et du cerele parallèle à ce dernier et situé à mi-chemin entre lui et le sommet de la calotte.
(163) REM. EE, Disons aussi, à l'endroit du cône sphérique que s'il s'agissait de cuber un trone quelconque de cône sphérique comprise entre bases parallèles, comme le serait une section d'obus par exemple ou la voûte d’une pièce circulaire et d'épaisseur uniforme, l’on ÿ arriverait, comme dans le cas du tronc de côue ordi: naire, en ajoutant à la somme des surface: : convexe et concave de ses bases parallèles 4 fois la surface d’une section parallèle aux bases et à mi-chemin entre elles, pour multiplier ensuite le tout par la sixième partie de la hauteur du tronc; ou en faisant les volumes respectifs des cônes sphériques composants pour en prendre la différence,
(164) REGLE. Après avoir établi par la méthode du prob. 34 la sur face de la base du secteur, on multipliera (4077 G@.) cette surface par le tiers du rayon pour avoir le volume demandé.
Ex 1. La hauteur de la calotte où du segment, suivant le cas, qui (935 G.) forme la base d’un secteur sphérique, est de 14 mètres, et le rayon de la sphère dont le secteur fait partie est de 5 mètres; quel est le volume du secteur ?
Rep. La surface de la base = cire. d’un grand cercle x la hauteur du segment, la cir.=diam. 10 x 3.1416=31.416, 31,416 x 1.5= 47,124 mètres carrés, cette surface X + rayon ou par 5+3—78,54 mètres cubes,
2. Quel est le volume d’une bouée en forme de secteur sphéri- Que, la longueur du côté étant de 10 pieds et le diamètre de la base 5 pieds ?
Rep. Avec ces données on obtient d'abord la hauteur de la calotte=10—V10 -2,5*=10 — 9,6825 = .3175 d'un pied, la cire. = diam. 20 x 3.1416=62.832 laquelle x ,3175 = 19.94916 pieds carrés == surface de la base convexe, cette dernière x 10+-3=66.497 pieds cubes.
8. Une tour circulaire dont le diam. int. est de 30 pieds, a pour voûte en pierre de taille un tronc de secteur à bases parallèles dont l'épaisseur est de 5 pieds, la hauteur de la calotte de la voûte est de 10 pieds ; quelle est la surface concaye et le contenu solide de la voûte ?
Rep. Le vol. du tronc est (1083 G.) égal à la différence des secteurs entier et partiel composants=surf, ext. ou de l’extrados x # R, moins surf, int. ou de l’intrados x # r, où R et » sont les rayons respectifs des sphères ext. et int. dont les secteurs"de même nom font partie ; or, on obtient d’abord (540 G@.) pour reste du diamètre du grand cerele dont la hauteur de la voûte fait partie et dont le diam.
122 OLEF DU TABLEAU.
de la voûte est une corde, 15° +10 (le carré de ia demi-corde + le sinns verse, c’est-à-dire, le diam. de la voûte + sa hauteur) =225--10 =22.5; alors on a le diam.=?2.5 +10—32.5 et ie rayon—=16.25, et l'épaisseur de la voûte étant de 5 pieds, on a pour "170n de l’extrados 16.25 + 5=21.25 ; maintenant, on aura la surface intérieure de la voûte en faisant la circonférence 102.102 (=3.1416 x 32,5) et en la multipliant par la hauteur 10, ce qui donnera 1021 pieds carrés pour la surface voulue.
On aura (1074.2° G@) la surface de l’extrados en faisant riR: suf, int. : surf, ext. ou 16.25 :21.25 :: 1021 ‘æ, soit 264:452 :: 1021 :x=— 1748 ; enfin le volume demandé=surf. ext. x# R— surf, int, x & = (1748 x 21.25-+ 3) — (1021 x 16.25 -- 3) —=12382 — 5530— 6852 pieds cubes de pierre taillée.
REDM. FE. La règle approximative dont il a été question dans la rem. du dernier problème, donnerait duns le cas actnel 4 (1718+ 1021) x 5=6922 c’est-à-dire un excédant de 70 pieds cubes, lerreur étant par conséquent de 1,4, pour cent.
4. Un réservoir dont la paroi latérale est une zone de sphère et le fond une surface plane, est revêtu dans toute sa surface concave d’vn épaisseur de huit pouces de maçonnerie en briques qui rayonnent vers centre de la sphère dont le réservoir est un segment. Le diamètre supérieur du réservoir, qui est en même temps celui de la sphère, est de 100 pieds et la profondeur du réservoir ou hauteur de la zone est de 20 pieds. On demande le nombre de briques dans le tronc de secteur sphérique que forme le revêtement latéral du bassin?
Rep. La cire. de la sphère int. ou d’un grand cercle est 100 x 3.1416=314.16, cette cire. x la hauteur 29 de la zone intérieure, donne pour surface de cette zone 5982,2 pieds carrés, et le secteur solide dont cette zone est la base ou surface convexe est de 6283.2 x 4r= 6283.27 x 50-+3 = 104,720 pieds cubes ; la surface de la zone ext. du revêtement en brique s'obtient (1074.2° G.) en faisant 100 1014 :: C9%88.2:6451.8687, cette dernière x # R ou par 4 (1014)—108,964.894 pieds cubes = vol. du secteur solide ext., la différence 4244.894 des secteurs int. eù ext. est le volume du revêtement en pieds cubes, multipliant par 2° ou a 84,898 pour le nombre de briques employées dans l’ouvrage.
REM. EE. Dans ce dernier exemple, la somme des surfaces parallèles ext. ec ‘nt. du revêtement est 12725.0687, cette somme x ia demi-épaisseu., 4 pouces, où par un + d’un pied, donne 4245.0229 pieds cubes, x 20 = 819004 briques, ou une différence de 24 briques
seulement dans le resultat ; prouvant par là, comme on l’a déjà dit qu'avec une épaisseur très petite relativement au rayon, on obtient à très près le volume d’un tronc de secteur sphérique, en multipliant sa hauteur par la demi-somme de ses bases parallèles. Cependant, pour ce qui est de la somme de travail à dévouer aux deux modes de calcul, la seconde méthode n'offre aucun avantage sur la première qu'il vaut mieux alors employer dans tous les cas.
REME LE. On peut aussi dans la pratique (et c’est ce qui se fait quelquefois) lorsque l’épaisseur d’une voûte est uniforme et que Je rayon de courbure en est relativement grand, simplifier l’opération et arriver à un résultat assez approximatif en multipliant de suite la surface int. ou ext. de la voûte par son épaisseur. Dans le dernier exemple cette manière de procéder donne, en se servant de la surf, de l’intr dos du revêtement en brique, 6283.2+8 pouces ou par les # d’un pied = 4188.8 pieds cubes x 20=83776, ce résulta‘ est en moins de 1122 briques ou de 1+ pour cent. Si l’on prend au contraire la surface ext. 6452 x# on a 4301 pieds cubes, ou 86,020 briques, résultat qui est en excès de la vérité de 1122 briques ou de 1+ pour cent comme auparavant.
PROBLÈME XXXVIII
Trouver la surface d’un triangle sphérique, * (Voir le Tableau.)
(165) REGLE I. Fuites d'abord la surface de la sphère dont le triangle fait partie, et divisez cette surface par 8 pour avoir (1193 G.) celle du triangle tri-rectangle.
Faites ensuite (1200 G.) la somme des trois angles, retranchez en 180° et divisez le reste par 90° ; multipliez alors par ce quotient le triangle tri-rectangle et le résul'at sera la surface voulue.
REGLE II. Multipliez, comme pour le triangle à surface plane, la longueur developpée dé la base par la hauteur developpée perpendiculaire à cette base; le résultat sera la s "face près, de triangle proposé.
1. L'on trouvera parmi les morèles du tableau, des pyramides et troncs de pyramides sphériques dont les bases offrent le triangle sphérique acutangle, rectangle et obtusangle, y compris le triangle sphérique ‘-rectangle dont il est ici question,
LE
« LA Ô + LU LA + Lé Limnoumunsene"
Ex. 1. On demande la surface d’un triangle décrit sur une sphère dont le diamètre est 30 pieds, les angles étant 140°, 92° et 68°?
Rep. La surface de la sphère entière = diam. 30 x 30 x .7854 x 4=30 7x .3.1416=2827.44 pieds carrés dont 4=353.43= surf, du triangle tri-rectangle qui doit entrer comme élément dans le calcul à faire. La somme des trois angles est 300°, 3009 — 1809 = 120°, 120° -- 90° = 1k et 14 fois la surf. 353.43 du triangle tri-rectangle donne 471.24 ]a surface voulue.
2. Les angles d’un triangle sphérique équilatéral sont chacun de 1209, et le diam. de la sphère dont le triangle fait partie est de 20 mètres ; quelle est la surface du triangle ?
Rep. 20° x 3.1416--8=157.08=surf, triangle tri-rect., la somme des angles=3609, 3609 — 180° =180°, 180+90°=2 et 157.08 x 2 = 314 .16 mètres carrés.
8. L’un des 8 compartiments de la surface d’un dôme ou d’une voûte en forme d’hémisphère est un triangle sphérique isocèle dont chacun des angles à là base est un angle droit et dont l'angle au sommet=360° + 8=:45°, la longueur de l’are qui mesure la largeur du compartiment à la naissance du dôme est ‘e 39.27 et la rence entière est en conséquence = 39.27 x 8= 314.16, d’où est 100; quelle est la surface du ce -"partiment ?
circonfé- J4 dam.
Rep. La surf. entière de la sphère dont la demi-iu1e à estimer fait partie=100" x 3141631416 unités carrées, le triangle tri-rect, —=31416 + 8 = 3927, la somme des sngles excède de 45° deux angles droits, 45° +90=1, donc la surface où volume = 3927 +2 — 19634 surface demandée.
D'ailleurs, dans cet exemple où le triangle à estimer forme une partie aliquote connue de la sphère entière, le calcul se simplifie et se réduit à faire la surface de la sphère pour en prendre ensuite la 16ème partie. L'exemple à néanmoins l'avantage de faire voir l'éxactitude de la règle (la surf. de la sphère entière 31446 divisée
par 16 donnant comme auparavant 19634 pour surf. convexe de l’onglet proposé) et indique la manière de procéder dans tout autre cas analogue.
4. La somme des trois angles d’un triangle tracé sur la surface de la sphère terrestr2:, excède (1416 G,) d’une seconde (1”) 180°, quelle en est la superficie en supposant que la terre soit une sphère parfaite d’un diamètre de 7912 milles anglais ?
Rep. La surface de la terre = (79 12) X 3.1416—196,663,355.75, divisant par 8, on a pour surface du triangle tri-rect. 24,582,929.47 milles carrés ; maintenant 1” + 90=1/+324,000 (nombre de secondes dans 90°::=-90° x 60’ x 60/’)==55300 000003308642 près et la surface du triangle tri-rectangle 24,582,919.47 x .00000308642 ou, ce qui est la mème chose divisée par son réciproque 3240006 donne 75.17321 pour la surface du triangle proposé en milles carrés.
(166) REDT. E. Il est clair d’après la règle que la surf. de tout triangle sphérique de même rayon, c'est-à-dire, de tout triangle tracé sur une même sphère à un rapport direct à l’excédant de la somme de ses trois angles sur 180°. Par exemple, si l’excédant sphérique était de 10 secondes au lieu d’une, la surface du triangle serait 758.7321 milles carrés au lieu de 75.87321 ; de même si l'excès des 3 angles sur 180° n'était que d’un dixième de seconde, la surface du triangle ne serait que d’un dixième de ce qu’elle est pour 1 seconde, savoir: 7.587321. Uu excédant d’une minute donnerait pour surface du triangle à estimer un nombre de milles 60 fois plus grand que celui que donne une seconde, c’est-à-dire, la 5400ème partie du triangle tri-rect., puisque 324000 -- 60--5400 ou que 90° x 60=-5400 ; de même 1° donnerait la 908, .e partie du triangle tri-rect., et ainsi ‘dé suite ; d’où il suit évidemment que dans tout relevé géodésique d’une partie de la sphère terrestre, il suffira, après avoir établi la surface qui correspond par exemple à une seconde où à un 10ème, 100ème, 1000ème, etc. de seconde, de multiplier cette surface par le nombre de secondes on de dixèmes de seconde, ete., dans l’excédant de la somme des trois angles d'un triangle quelconque sur IS0°, pour avoir de suite la surface de ce triangle, et on l’a vu (4415, 3° @.) la manière d'établir au besoin cet excédant sphérique.
REM. EI. Il est évident que si le iangle sphérique ACP, par exemple, est le triangle tri-rectangle ou :4 8ème partie de Ia sphère et qu’on le suppose divisé en un nombre quelconque de parties égales, c'est-à-dire, de triangles sphériques isocèles égaux entre eux, ACE, ECE, ete., tous les angles en C devront à cet fin être égaux entre eux et les arcs AE, EE aussi égaux entre eux, les surfaces de ces tri-
angles seront par 1à même superposables et égales. Soit done l'angle ACE au sommet ou pôle C-=19 et parce que l’espace tout autour de C est divisé en 360°, la surface du triangle isocèle sphérique bi-rectangle ACE, ou dont les côtés qui comprennent l’angle de 1° au sommet ou pôle C sont égaux entre eux et chacun d'eux à un quart de circonférence, cette surface, disons-nous, sera évidemment l1 360ème partie de celle de l'hémisphère AEBA-C ou ce qui est la même chose la 90ème partie de celle du quart d’hémisphère ou triangle tri-rectangle, $i l'angle en C n’est que de 1’ ou la GÜème partie de 1°, la surface du triangle ACE ne sera que la (90° x 60’) 5400ème partie de celle du demi-quart de sphère. $i l'angle en C n’est qu’une seconde, la même surface ne sera que la (90° x 60’ x 60’’) 224,000ème partie de celle du demi-quart de sphère, où comme on la vu dans l’exemple ci-dessus, de 75.87321 milles carrés anglais ; d'où il est clair, qu’un angle C ou ACE de .1”’ donnerait 7.587321 milles carrés; un angle ACE de .01’” donnerait .7587321 d'un mille carré ; un angle ACE de .001”’ une surface de 07587321 d’un mille carré et ainsi de suite, soit, comme on vient de le dire, 07587321 pour chaque millième de seconde, Or 1 mille carré == 5280 x 5280 pieds anglais = 27,878,400 pieds carrés et multipliant par .07587321 on a 2,115,223.4 pieds qui correspond done aussi à la surface d’un triangle sphérique dans lequel l’'excédant de la somme de ses angles sur 180° est de .001”” ou de la millième partie d’une seconde ; d’où, si l’excédant n’est que de .0001” la surface correspondante du triangle sera de 211,522.34 ; si l’excédant sphérique est de .00001/’ ou de la cent millième partie d’une séconde, la surphace sphérique ne sera plus que de 21,152.234 et enfin si l’excédant sphérique est de .000001/’ ou de ia millionnième partie d’une seconde, la surface du triangle sphérique correspondant à tel excédant sera de 2115.2234 pieds carrés ou d’une étendue de terrain n’excédant pas un carré de 46 pieds de côté. D'où :
REGLE IH Pour déterminer la surface sphérique dun triangle quelconque décrit sur la surface du sphéroïde terrestre (sphère aplati aux pôles d'à peu près un trois centième (545) de son diam.) on n'a qu'à multiplier chaque millionnième de seconde de lexcé-
1. Comme les surfaces de figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l’on arrivera à la surface d’un triangle sphérique décrit sur une sphère de rayon quelconque en faisant la proportion voulue,
dant de la somme de ses trois angles sur 180° par 2115 pieds carrés, où chaque millième de seconde par 2,115,223 pieds carrés ou par .07587321 milles carrés. où chaque .01'’ (centième de seconde) par .7587321 milles carrés, ou chaque .1’ (dixième de seconde) par 7.587321 milles carrés, ou enfin chaque 1’ (seconde) par 75,87321 milles carrés, réduisant à cet effet les degrés (°) et minutes (’}) dans l’excédant donné de la somme des trois angles de tel triangle sphérique quelconque sur ? angles droits, en secondes, pour multiplier ensuite ces secondes par 75.873221 et les fractions de secondes comme on vient de le dire.
Et Reciproquement, pour déterminer l’excédant sphérique de la somme des trois angles d'un triangle sphérique quelconque sur ? angles droits, on divisera la surface préalablement obtenue dune manière approximative (en considérant (165, IR. 2) les longueurs des ares qui en constituent les côtés comme celles des côtés d'un triangle rectiligne) par 2215 pieds carrés pour avoir le nombre de millionnièmes de seconde (000,001) contenus dans tel excédant, où par 2,115,293 pieds carrés où 07587321 mille carré pour avoir le nombre de millièmes de secondes (.001/”) contenus dans tel excédant, par 7587321 mille carré pour les cenlièmes de secondes (.01””), par 7.587321 milles carrés pour les dirièmes de secondes (1°), enfin par 75.587391 milles carrés pour les secondes (1’) et les secondes au besoin réduites en minutes en divisant par 60 et les minutes en degrés en divisant encore par 60, donneront encore l’excédant sphérique voulu.
REDI. HAE, Le triangle sphérique ACE sur lequel on a raisonné est comme on l’a dit bi-rectangle en A et E, c’est-à-dire, que les angles en À et en E sont, et sont évidemment, droits ; d’où il suit que l’angle en C au sommet ou au pôle est l’excédant sphérique où la quautité dont les 3 angles excèdent ? angles droits et de même que cet excédant sphérique fournit la surface dans le cas du triangle isocèle bi-rectangle, de même (12006 @.) cet excédant permet darrivez à la surface voulue, ou la surface à l’excédant voulu dans tout autre triangle sphérique quelconque.
PROBLÈME XXXIX
Déterminer la surface d’une polygone sphérique.
(6., REGLE. Trouvez comme dans le dernier problème, la surface du triangle tri-rectangle (ABO1 G.). De la somme de tous les angles du polygone soustrayez autant de fois ? angles droits qu'il ÿ « de côtés moins deux. Divisez le reste par 90° et multipliez le triangle tri-rect. par le quotient ainsi obténu: le produit sera la surface voulue,
Ex. 1 Queïie est la surface d'un polygone régulier de huit côtés décrit sur la surface d'une sphère dont le diamètre est 30, chaque
angle du polygone étant de 140
Rep. 149° x 8--11209 = somme des angles du polygone, 180° x G--1080° ==autant de fois 2 angles droits que de côtés moins deux, 1120 — 1080-40, 40-964; la surface du polygone proposé sera donc les # de celle du triangle tri-rect., la surface de la sphère-=30 x 30 x 3.1416-=53.1416 x 900---2827.44 laquelle + 8--353,43--surf, du triangle trisreet., cette dernière x 4+9=-167.08 la surface voulue du polygone.
2. On demande la superficie dun polygone irrégulier de 7 côtés décrit sur une sphère de 8k mètres de rayon, la somme des angles étant de 1080°?
Rep. Surface de la sphère—17" x 3 1416--907.922%4 dont la huitième partie 113.4903 est la surface du triangle tri-rect., 1080° —5 fois 180°=180°, 180°-+90°:2=29 et 113 4903 x 2 = 226,9806 surface du polygone proposé.
3 La somme des 15 angles d'in polygone de triangulation géodésique est 23409 1° 50”, quelle est la surface du polygone en milles carrés, en supposant que le diamètre de la terre à l'endroit du relevé soit de 7812 milles anglais, c’est-à-dire en supposant que l’opération trigonométrique ait eu lien sur une s5hère de ce diamètre ?
Rep. On à, comme dans le dei: r problème, pour surface correspondant à un excédant de 1”, 75.872214 milles carrés, et on a vu que la surface à estimer est en rapport direct avec le nombre d'unités dans l’excédant donné; or, la somme des angles est dans cet exemple 2340° 1’ 50” laquelle diminuée de 13 fois 180° ou de 23140? laisse pour excédant 1’ 56* ou 110”; 1 surface voulue sera donc de 110 fois 75.874321 c’est-à-dire 83146.0531 milles carrés. |
(168) REM. La supposition qu'on vient de faire semble indiquer que là terre n’est:pas dans toute son étendue de même courbure, c’est-à-dire de méme rayon où diamètre, ou qu'elle n’est pas une sphère parfaire, et en effet le globe terrestre est un sphéroïde dont l’'aplatissement vers les pôles est d'à jeu près 445 du diam à l'équateur ou d'environ 26 milles; or les eritfaces de deux sphères de rayons différents où de deux parties homologues quelconque des sphères sont entre elles (4074 @.) comme les carrés des rayons de ces sphères
Soit donc à trouver le rapport des surfaces de deux figures sem-
blables tracées sur la sphère terrestre, l’une en un endroit où le diamètre osculateur est de 7912, l’autre dans une latitude oucediamètreest de 7930 milles, on fera 7912" :7980" :: 1: 1.004555? ; multipliant par ce dernier nombre les 8346.0531 milles carrés du dernier exemple, on obtient 8384.071 milles carrés pour surface du même polygone en un endroit ou le diamètre de la terre serait de 7930 au lieu de 7912, c'est-à dire une différence de 38 milles carrés, quantité qui quoique relativement petite, eu égard à la surface totale de l’étendue de territoire embrassé dans le relevé, n’en est pas moins très grande en elle même, équivalente qu’elle est à celle d’une ville ou d’un canton de plus de 6 milles de diamètre ; ce qui fait voir l’importance d’avoir égard aux dimensions relatives de chaque partie de la sphère terrestre dans les opérations à faire pour en déterminer la surface.
PROBLÈME XL
Déterminer le volume d’une pyramide sphérique
quelconque. (Voir le fableau.)
(196) REGLE. Trouvez d'abord par les règles précédentes la
surface de la base de la pyramide donnée ; multipliez ensuite os2 G.) cette surface par le tiers de la hauteur de la pyramide, c'est-à-dire par le tiers du rayon de la sphère dont la pyramide fait partie et le résultat sera le volume demandé. |
Ex. 1. Quel est le volume d’une pyramide sphérique dont le base est de 10 mètres carrés et la hauteur 30 mètres ? Rep. 100 mètres cubes.
2, Parmi les parties composantes d’un polyèdre à cuber, se trouve une pyramide sphérique ou une partie de sphère botnée par des plans se rencontrant au centre de la sphère dont la pyramide fait
partie ; quel en est le volume, le rayon étant de 15 pouces et la surface du triangle ou polygone qui en constitue la base de 100 pouces ? Rep. 500 pouces cubes.
8. On a à faire une voûte ou partie de voûte dont le rayon int, ou de l’intrados soit de 30 pieds, l'épaisseur de la voûte 3 pieds et la forme celle d’un polygone irrégulier dont l'aire ou superficie int. est de 100 pieds carrés; quel en est le volume ?
Rep. Le vol. à estimer est un tronc de pyramide sphérique à bases parallèles; ce volume est égal (1083 G.) à la différence des volumes des pyramides entière et partielle ou ext. et int. composantes, Où aura done pour le vol voulu, l'expression (surf. ext. x 4 R)—{surf, int. x #»): 1 y a donc a trouver la surf, ext. qui doit concourir au caleul à faire; à cet effet on a (1074, 2° G.) 30 : 33 ":: 100 : 121= surf. de l’extrados ; maintenant, (121 x 11) — (100 x 10)=1331 — 1000 =331 pieds cubes de maçonnerie.
4, Quel est le poids d’un fragment d’obus ou de bombe dont je diam. int. est 10 pouces, l'épaisseur 5 pouces, et les surfaces int, et ext. ou concave et convexe 60 et 210 pouces carrés, les plans de section du fragment étant dirigés vers le centre de la sphère dont le solide à estimer fait partie, et le poids de la fonte étant à raison de 480 livres au pied cube ?
Rep. (210 x 10--3)— (60 x 5+3)=800 — 100 — 700 pouces cubes, le pied cube=12 x 12 x 12=1728 pouces cubes,’ d’où on obtient le poids demandé en faisant 1728 : 480 :: 700:1944 livres.
PROBLÈME XLI
Trouver la surface ou le volume d’un polyèdré régulier quelconque. (Voir les 5 polyèdes réguliers du tablea uw.)
(169) REGLE I. Pour la surface : caleulez la surface de l'une de ses faces composantes, et multiplie: (A1LS G.) cette surface par le nombre de faces dans le polyèdre proposé.
Pour le volume : Multipliez (1124 G.) laswrface du potyèdre par le tiers du rayon OP de la sphère inscrite, c'est-à-dire par le tiers de a perpendiculaire abaissée du centre sur l'une des faces du solide ; le produit sera le volume demandé.
REM. On a vu (1182 et 1134 G.) que pour déterminer dans le cas du Dodécaèdre et de l’Icosaèdre, le rayon de la sphère inscrite, il faut premièrement trouver l’angle formé par deux des faces adja-
centes de ces solides, && on a indiqué la manière d'établir cet angle. On peut aussi, au moyen du même angle, calculer la perpendiculaire
dans eébacun des trois autres polyèdres (dont celle de l’exaèdre est d'ailleurs égale au demi-côté de ce corps) ou obtenir cette perpendiculaire par la méthode du par. (1128 G. ) ou 1131 G.) suivant le cas.
(179) Il est bon de calculer et de disposer sous forme de tableau, comme on l’a fait (27 TT.) pour les polygones réguliers, les surfaces et volumes des cinq polyèdres ayant pour côté l’unité, afin de se servir ensuite au besoin de ces surfaces et volumes, pour déterminer la surfice ou le volume de tout autre polyèdre régulier quelconque de mêm: nom. |
Tableau des polyèdres réguliers dont le côté est 1.
