PROBLÈME LVIII

Déterminer le volume d’une voûte quelconque dont l'épaisseur n'est pas uniforme.

(202) REGLE. Faites séparément (page 431 G,) par les problèmes précédents, les volumes des solides (c’est-à-dire des prismes ou cylindres, demi-sphères, demi-sphéroïdes ou conoïdes, ou des calottes ou segments de ces solides) extérieur et intérieur composants, pour en prendre ensuite la différence, qui sera le contenu solide de la voûte proposée.

PROBLÈME LIX

Déterminer le volume d’un prismoïde ou d’un cylindroïde quelconque.

(Voir les nombreux prismoïdes et eylindroïdes variés du Tableau.)

(203) REGLE. À la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface une section ou coupe égalerrent éloignée de ces bases, et multipliez le tout par un sixième de la hauteur du corps ; le résultat sera le volume demandé.

REM. 1. On dit (1102 &.) que ‘“‘le prismoïde est un solide ayant pour bases parallèles, des f zures planes quelconques à côtés parallèles.” Cette définition n'exclut par l’égali:. des côtés parsllèles ; don+, tout prisme ou cylindre (prisme infinitaire) est en “éme temps un prismoide.

La définition n’exelut pas la proportionnalité des côtés parallèles; done, tout tronc de pyramide ou de cône (tronc de pyramide infinitaire,) à bases parallèles, est un prismoïde.

162 OLEF DU TABLEAU.

La définition n’assigne pas non plus des limides à l'inégalité des côtés parallèles ; donc, chacun des côtés de l’une des bases parallèles peut diminuer indéfiniment et jusqu’à devenir enfin=0; cette base se réduira donc aussi à zéro ou à un seul point, comme dans le cas de la pyramide; donc, la pyramide ou le cône (pyramide infinitaire) est aussi un prismoïde.

Si la somme de tous les côtés, moins un, de l’une des bases, devient égale au côté ainsi excepté, cette base ne sera plus qu’une ligne ou arête parallèle au plan de l’autre base, comme dans le cas du coin; donc, tout coin ou autre solide ay. ! pour lune de ses bases une fiqure plane quelconq : et pour l’autre base une ligne parallèle à la première, est encore un prismoïde.

(204) Il sembierait que dans cette manière de réduire à une simple ligne une figure plane quelconque, l’on ait négligé le parallélisme nécessaire des côtés opposés ; mais il n’en est pas ainsi, ear si la base à réduire est un rectangle par exemple, les deux côtés pérpendiculaires au côté excepté deviennent chacun=0; la somme des côtés moins un, est le côté du rectangle parallèle au côté excepté, et qui, lorsque les côtés perpendiculaires deviennent nuls, finit par s'approcher du côté excepté de manière à ne former avec ce dernier qu'une seule et même ligne ou arête. Si la base à réduire est un polygone quelconque, il y aura, ou non, dans le périmètre de cette base, un côté parallèle au côté excepté; si il y a un côté qui lui soit parallèle, ce côté pourra diminuer ou augmenter de manière à devenir de longueur égale à celle du côté excepté, et tous les autres côtés devenant chacun =0, les deux côtés parallèles se réuniront pour i’en faire qu'un seul; s’il n’y a pas dans la base sur laquelle on opère un côté parallèle au côté excepté, l’on interposera entre deux des côtés de cette base, un côté qui soit la parallèle voulue ; car de même qu’un côté du prismoïde peut, sans affecter la définition, devenir égal à 0, de même un côté d’abord égal à zéro peut prendre du développement, et cela dans une proportion quelconque comme dans une direction quelconque.

(205) Il est clair que si l’une des deux bases peut, de figure quelconque, devenir ligne, il en est de même de l’autre base qui peut aussi, de figure quelconque, devenir ligne. Si les deux lignes ‘qui forment maintenant les bases opposées sont parallèles l’une à l’autre, il est clair que le solide aura cessé d'exister ou sera devenu égal à zéro ou à une simple surface; mais si les lignes ou arêtes qui servent de bases opposées au corps dont il s’agit ne sont pas-parallèles entre elles, quoique cependant dans des plans parallèles l’un à l’autre, le

NZ NS

solide n’aura pas cessé d'exister; donc, un priemoïde peut être tel que ses bases opposées soient toutes deux de simples lignes ou arêtes.

(206) Disons pour résumer qu’un prismoide peut avoir pour bases parallèles : deux figures quelconques égales ou semblables. deux figures quelconques inégales ou non semblubles, une figure quelconque et une ligne parallèle au plan de cette figure, une figure quelconque et un point, deux lignes quelconques non parallèles, mais siluées dans des plans parallèles l'un à l'autre ; savoir, par exemple : deux carrés égaux ou inégaux ; un carré et un rectangle quelconque; deux rectangles .ou parallélogrammes quelconques; deux polygones quelconques égaux ou semblables, inégaux ou dissemblables, dont les côtés dé l’un correspondent soit à des côtés parallèles ou à des points angulaires de l’autre ; un carré, rectangle ou autre polygone et un cercle ou ellipse (polygone infinitaire); un cercle et une ellipse quelconque ou deux ellipses quelconques (ce dernier prismoïde à bases parallèles curvilignes se distingue quelquefois sous le nom de cylindroïde); un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et une ligne ; un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et un point ; deux lignes de longueurs quelconques non parallèles. ?

(267) BEM. :2 Ily a à considérer ma utenant l’espèce ou la nature de la figur. ervant de section ou de coupe intermédiaire entre les Eäses opposées du prismoïde à estimer. Ainsi, il est elair que si les bases opposées sont des rectangles à côtés parallèles, la section parallèle intermédiaire sera aussi un rectangle ou un carré; si les deux bases sont des parallélogrammes à côtés parallèles, la sectivn searaaussi un parallélogramme ; siles bases sont un carré, rectangle, parallélogramme et une ligne parallèle à l’un des côtés de tel

1. Toutes ces formes se rencontrent dans la pratique, et celà surtout à l’endroit des toitures diversifiées ‘d’édifices de toutes sortes. Une tour ou tourelle carrée par exemple, sera assez souvent terminée par un toit couronné d’une plate-forme octogone ou circulaire, ou ce sera la tour qui aura pour plan par terre un cercle, et pour plateforme du toit un carré ou autre polygone, ou encore ce sera deux carrés dons les eôtés de l’un sont parallèles aux diagonales de l’autre : :silà pour le prismoïde dont les bases parallèles sont des figures quelconques. Si un édifice dont la coupe horizontale est un carré, rectangle ou polygone, est recouvert d’un toit terminé par un fafte plus au moins long, on aura le prismoïde dont l’une des bases est une figure quelconque et l’autre base une ligne. Le coin offre aussi un solide de cette sorte. Il n’est pas rare non plus de trouver parmi les parties composantes d’un toit ou autre objet à évaluer des prismoïdes de l’espèce de celui du par. (208, TC.) c.-à-d. dont les bases A B, CD soient toutes ceux de simples lignes, sans que la surface de la coupe ou section intermédiaire

abcd en ait moins pour cela une valeur très réelle et facile à déterminer. Dans ce dernier cas le facteur ‘4 suri. abcd” = AB x CD(208, T.), d'où, le vol. AB x CD x hauteur + 6,

164 OLEF DU TABLEAU,

rectangle, etc., la section sera encore, dans le ler cas un rectangle, dans le second cas un rectangle ou un carré, dans le troisième cas un parallélogramme ; si les bases sont une figure quelconque et un point, la section sera une figure semblable à la base et égale (481, 'T.) en surface au quart de la base; si les deux bases sont des lignes perpendiculaires (907, G.) l’une à la direction de lautre, la section sera un carré ou un rectangle ; si les bases sont des lignes non perpendiculaires l’une à la direction de l’autre, la section sera un losange ou parallélogramme.

(208) Rien de plus facile dans tous ces cas que de déterminer la surface de la section intermédiaire dont les multiplicateurs ou facteurs sont chacun moyen arithmétique entre les côtes parallèles des bases opposées ou entre les côtés ou arêtes et points ou sommets opposés suivant le cas. Par exemple, dans le prismoïde AB-CD où chacune des bases est une simple ligne ou arête AB, CD et dont la surface est en conséquence nulle, on a pour section intermédiaire le carré, rectangle ou parallélogramme abed dans leqnel ab=+ AB + D ou =+ AB, puisque D=0, de mème de - + AB=ab, et ad=+4 CD=bc; d'où surface section abed=ab x ad où + AB x + CD si c’est un rectangle, ou (8, Te.) =ab x ad x sin. nat. angle bäd si c’est un parallélogramme.

(209) Si l’une des bases est un polygone quelconque et que l’autre base soit aussi un polygone quelconque, et si toutes les faces latérales du prismoïde sont des triangles, c'est-à-dire, si chacun des côtés dans l’une des bases correspond à un point dans l’autre base, le nombre de côtés dans la coupe intermédiaire sera égal à la somme des nombres de côtés dans les deux bases.

(210) Si l’une des bases est une figure rectiligne quelconque, et que l’autre base soit une ligne non parallèle aux côtés de cette première, le nombre de côtés dans la coupe int.

sera égal au nombre des côtés de la base plus 2 ; et si la ligne ou l’un des côtés, où plus d’un, de la figure qui forme l’une des bases, est parallèle à l’un ou à plus d’un des côtés de l’autre base, le nombre de côtés de la section interm. pourra varier indéfiniment suivant le cas, mais sera néanmoins toujours aisé à déterminer à l’aide d’une simple esquisse de la figure.

Le résumé qu'on vient de faire peut encore se simplifier, s'abréger ou se traduire comme suit, savoir: Le prismoïde ou cylindroide (prismoïide infinitaire) est un solide à bases parullèles dont les pians (faces latérales) passant par les côtés ou arêtes de l'une des bases, sont terminés par des points ou par des côtés ou arêles parallèles dans l'artre base.

En d’autres termes: Le prismoïide ou cylindroïide est tel que toutes ses faces lalérales sont dis, ou que sa surface latérale peut se décomposer en triangles ou trapèzes rectilignes, c'est àdire, à surfuces planes, ou en parties capables de se développer en surfaces planes.

Ajoutons que tout prismoïde peut se décomposer, si l’une de ses bases est (fig. du par. 212,'4,) une figure quelconque et l’autre buse une ligne, en deux pyramides et un prismoïde élémentaire ayant pour bases des lignes, (fig. du par. 208, T.) ; si ses deux bases sont des figures quelconques, en quatre pyramides ayant leurs bases deux à deux dans les bases opposées du solide, et un prismoïde ayant pour bases des lignes ; ou, à volonté, en pyramides, coins, etc., et prismoïdes à bases linéaires, suivant la manière d'opérer la division du solide par des plans dont on peut varier le nombre et la position.

(214) Si l’une des bases est par exemple un cercle ou ellipse et l’autre base une ellipse, la base interm. sera aussi une ellipse dont on aura le diam. ef = # (AB + ab) et le diam. gh= +& (CD + cd).

(212) Si l’une des bases est un cercle ou ellipse AB et l’autre base une ligne EF, la base interm. abfede sera une figure mixtiligne dont les parties «b et cd seront des droites parallèles à EF, et les parties aed, bfe des figures semblables (1033 Gi.) à CAD, CBD. Pour calculer la surface de la sectior interm., on a (1033, 520 G.) ab et de chacun =+ EF, ad et be chacun =4 CD, et comme les parties composantes ACD-E, BCD-F du prismoïde sont évidemment des pyramides à bases mixtilignes, on aura (LL 7.) la surface aed=+ surf, ADC, surf. bfe =} surf. BCD; c'est-à-dire qu'on aura surf.

section ef = ab où de où & EF x ad o 1 be & CD ++ surf, AB, et si EF n’est pas parallèle à AB ou perpendiculaire à la direction de DC on multipliera de plus (S "F.) le produit ab, be par le sin. nat. de l’angle bad ou l’on substituera au facteur ad ou be la largeur perpendiculaire du parallélo-

gramme ab cd.

(213) Si l’une des bases est nn serele ou ellipse AB et l’autre un carré ou rectangle EG, le prismoide donné se décomposera en: 1°, un prismoïde EFGIH-CD (ayant pour bases (207%, ‘.) un carrè ou rectangle et une ligne, et pour section interm. un rectangle efgh où ef=gh=# EF ou GH eteg-fh=# EH + 4 CD); 2°, deux prismoïdes AO-EH et BO-FG (ayant chacun pour bases des lignes AO, EN et BO, FG et (207, 'T.) pour base interm. un rectangle ablk où ab=kl=+ EH et ak ou b=+# AO, et nred où nr où cd= 4 FG et nd ou re=+4 OB); 3°, quatre pyramides AOC-H, AOD-E, BOC-G et BOD-F (ayant chacune pour coupe interm. une figure blg, aek, rech et ndf respectivement égale en surface au quart de la base correspondante AOC, AOD, BOC et BOD, ou leur somme égale en surface au quart de la base AB.

(214) Il est clair d’après les quelques prismoïdes ou eylindroïdes dont on vient de traiter que ces corps peuvent varier indéfiniment leurs formes, mais il suflira des considérations précédentes pour indiquer la manière de procéder dans chaque cas à la détermination de la surface intermédiaire à entrer comme élément dans le calcul du volume à établir; ou si c'est nécessaire, pour déterminer tout d'abord si le solide proposé est, ou non, un prismoïde ou cylindroïde tel qu’on puisse estimer ie volume par la règle générale ici donnée.

Ex. 1. Une tenture ou ciel-de-lit dont la base sup. est un cercle ou une ellipse de la surface d’un mètre, et la base inf. un rectangle de la surface de 3 mètres, a pour section intermédiaire une figure mixtiligne dont la surface est de deux mètres, la hauteur ou distance perpendiculaire entre les bases parallèles est de 24 mètres; on demande le volume de l’espace ou de l’air compris entre les rideaux ?

Rep. (1+3+4 fois 2) x 2,5-6=5 mètres cubes.

2. Une tente à camper dont le sommet ou la base sup. est un faîte, c’est-à-dire, une simple ligne ou arête ayant 2 verges en longueur, et dont la base inf. est composée d’un rectangle de 2 x 3 verges et de deux demi-cercles de 3 verges de diam. a ? verges de hauteur ; quel en est le volume ?

Rep. Dans cet exemple il est clair que le prlsmoïde à cuber est composé d'un coin à arêtes égales (c’est à-dire (K106, G.) d’un prisme triangulaire) et de deux demi-cônes. La surface de la base de la tente est composée de celle du rectangle=? x 3=6 verges carrées, et de celle de deux demi-cercles, c.-à-d. d’un cercle de 3 verges de

lOISÉ DES UORPS OÙ SOLIDES. 167

diam.,=3 «3 x .7854=7,0686 verges carrées, en tout 13.0686 verges carrées ; la surface de la coupe intermédiaire est égale à la moitié du rectangle à la base plus le quart {242,'8,) des deux demi-cereles, et vaut en conséquence 34+1,76715=4,76715. La surface de la base sup: étant nulle dans le cas actrtel, le vol. =(surf, base +4 surf, interm.) x hauteur + 6,=(13.0685 + 4 fois 4.767155 x L hauteur =32,19372 x 2+ G = 10.7124 verges cubes,

REV. Si la surface ext. du ciel-de-lit ou de la tente des deux derniers exemples, au lieu d'être tendue, e.-à-d, plane on capable de se développer (1149 G.) en surface plane, était concave ou non tendue, on n’en aurait pas moins le vol. voulu, au moins à très près (139, 140, T.) par la même règle (268, 'F.)

Ex. 3. Un observatoire dont le plan par terre est un octogone de 100 mètres en surface, est couronné d’un toit ayant pour sommet une plate-forme circulaire dont la surface est de 25 mètres, la surface de la section intermédiaire est de 56 mètres; quel est le volume de l’espace qu'occupe le toit dont la hauteur est de 6 mètres ?

Rep. 100+25+4 fois 56 - 319 mètres cubes,

PROBLÈME Lx.

Déterminer le volume exact d’un corps irrégulier quelconque de petites dimensions ou d’un corps composé de plusieurs parties élémentaires de dimensions et formes diftérentes,

(215) REGLE. Si c’est la capacité d’un vase ou “-aisseau quelconque que l’on veut estimer, l'idée nous vient assez généralement d'arriver au résultat désiré en déterminant le nombre de fois que tel vaisseau peut donner place au contenu de tel autre vaisseau de forme élémentuire dont on connait la capacité.

(216) Mais si c’est le volume de la substance même du vaisseau, etc., que l’on désire évaluer, la manière de s’y

prendre ne se suggère pas tout d’abord à l'esprit de quiconque veut opérer cette évaluation.

(217) REGLE. Si le volume a estimer est celui d’une substances non absorbante, on le plongera dans un vaisseau rem. pli d'eau ou de tout autre liquide dont on mesurera le déplacement au moyen d'un autre vaisseau de capacité connue ; ou si le premier vaisseau est assez grand et que la forme en soit rectangulaire ou cylindrique et de fucile jaugeage. l’on y mettra d'abord assez de liquide pour couvrir

l'objet à mesurer ; ayant alors remarqué la hauteur du niveau de l'ear dans le vasr, on y plongera l'objet dont il s'agit et l'on remarquera de noureau le niveau du liquide ; si l'on suppose m'iintenant que chaque fraction de mètre, pouce, ligne ou autre unité de la hauteur du vase contenant corresponde a un mètre, pied, pouce ou ligne. ete, cubique, on n'aura qu'à compter le nombre de telles unités dans la hauteur du niveau déplacé de l'eau pour avoir de suite le volume de l'objet proposé.

(218) Si le corps est absorbant, l'on se servira par evemple de sable ou de tout autre substance fluide de cette sorte, dont on pourra niveler la surface au moyen d'une tige ou tringle à arêle rectiligne.

L'on arriverait de cette manière au volume des corps les plus diversifiés du règne amimal, végétal ou minéral et des mille et un objets bruts ou manufacturés qu'on a tous les jours sous les yeux et dont il serait souvent impossible d'estimer les volumes par les règles ordinaires de la géométrie.

Il est bon de rappeler aussi que l’on peut arriver par une simple proportion au volume d’un corps en en comparant le poids avec celui d'un autre corps de même substance et de volume déterminé, c'est-àdire par le système des poids‘spécifiq ies qui enseigne en même temps à revenir du volume d’un corps à son poids: ce qui fera le sujet du problème suivant.

Ex. 1. Le poids d’un bloc irrégulier de pierre est 13 livres 7 onces: on demande à déterminer à l’aide du morceau donné le poids près d’un pied cube de cette pierre ?

Rep. Il y a tout d'abord à cuber le bloc de pierre; à cet effet soit un vase rectangulaire de 10 pouces carrés ou de 100 pouces en superficie horizontale, et dont la hauteur est divisée en pouces et centièmes de pouces ; ayant mis assez d’eau dans le vase pour couvrir la pierre à cuber, je note la hauteur de l’eau que je trouve de 8.53 pouces, je plonge ensuite la pierre dans le vaisseau et je note de nouveau la hauteur de l’eau qui est maintenant de 9.89 pouces; la différence de ces hauteurs est de 1.36 pouces. Puisque le vase est de 10 x 10 pouces, il est clair que chaque pouce de sa hauteur correspond à 100 pouces cubes et par conséquent, chaque centième de pouce de telle hauteur, à un pouce cube; done la hauteur observée 1.36 pouces du niveau déplacé de l’eau correspond à 136 pouces cubes; done le volume de la pierre est de 136, et on aura maintenant le poids du pied cube en faisant 136:215 onces (poids de la pierre) :: 1728 pouces cubes (c.-à d. un pied cube):2732 onces, ou, divisint par 16, 170; livres, le poids demandé.

2. Dans un vase cylindrique tel que chaque pouce de sa hauteur

correspond à 1 pouce cube d'espace ou de volume, on a p'ongé un lingot d'argent qui a déplacé de 73 centièmes de pouce le niveau du liquide dans le vase ; on demande le volume du lingot ?

Rep. .73 d’un pouce cube.

3. Ayant rempli d'eau un vaisseau quelconque, on y a plongé un objet dont on désire connaître le volume; on a recueilli dans un autre vaisseau, l’eau renversée dont la quantité est de 3 gallons 1 pot et 1 septier; quel est le volume de l’objet proposé, le gallon dont on s'est servi étant de 231 pouces cubes ?

Rep. 1 gallon+1 pot+1 septier = 931 + 1154 + 147, = 360} pouces cubes.

4, On demande le volume d’une substance absorbante placée dans un vaisseau de un pied carré qu'on a rempli de sable; après en avoir enlevé l’objet à évaluer, on trouve que la hauteur uniforme du sable dans lo vaisseau qu’on à d’abord nivelé à cet effet, est de .3 d'un pied, la hauteur du vaisseau étant de 1,5 pieds ?

Rep. 15—.3=1.2 pieds=hauteur du niveau déplacé du sable, et comme le vaisseau est de 1 pied carré en coupe horizontale, il suit que le volume de l’objet proposé est de 1.2 pieds cubes.

5. Dans un vaisseau en forme de tronc de cône se trouve une quantité de liquide dont le diam. à la surface est de 10 pouces ; on y plonge un objet qui augmente de 9 pouces la hauteur ou profondeur du liquide dans le vaisseau et qui donne à sa surface déplacée un diamètre de 14 pouces ; on demande le volume du corps proposé ?

Rep. Le volume d’eau déplacée, qui est en même temps celui de l'objet, est celui d’un tronc de cône dont les bases parallèles mesurent respectivement 10 et 14 pouces et dont la hauteur est de 9 pouces; ce vol.=(112, T.) (10+14+4 fois 12°) X.7854x9+6 = 872 x ,7854 x 1.5 = 684.8688 x 1.5 = 1027.3032 pouces cub£s.

THÉOREME LXI.

Déterminer le volume ou le poids d’un corps ou d’une substance quelconque, par comparaison du volume ou poids de tel corps, avec celui d’un corps ou subtance de même nature dont on connaît par avance le poids et le volume.

(219) REM. Le poids d’un pied cube d’eau à la température de 40° Fahrenheit (à laquelle à peu près l’eau atteint sa plus grande densité) est de 1000 onces avoir du poids, près, ou de 623 livres (poids

Anglais) et l’on appelle poids ou gravité spécifique d’un corps où d'une substance quelconque, le poids d'un volume de tel corps ou de telle substance égal à celui de l’eau prise pour point de départ d'où il résulte que si l’on connaît d'avance le poids d’un pied cube par exemple de chacune des différentes substances qu'on peut être appelé à estimer ou à mesurer, tel que consigné dans la table qui va suivre, l’on déterminera de suite par une simple proportion le volume de tout autre poids ou quantité de la même substance ou le poids de tout autre volume de telle substance, par les règles suivantes,

(220) REGLE. Pour déterminer le volume d’un corps d’après son poids ; faites la proportion : le poids spécifique du corps proposé est à (:) son poids en onces ou en livres, etc, comme (::}) 1 pied cube ou 1728 pouces cubes, est au (:) volume du corps en pieds ou en pouces, suivant le cas.

Ex. 1. Le poids d’une bombe ou d’un boulet en fonte de fer ou d'un fragment quelconque de tel solide pèse 45 livres: on demande le volume du corps proposé ?

Rep. On voit par la table des poids spécifiques (page des tables) que le poids du fer coulé ou de la fonte est de 450 livres près, au pied cube ; on aura donc le volume demandé en faisant 450 livres : 1728 pouces cubes :: 45 livres : 172.8 pouces cubes,

2. On demande le volume d’une statue de marbre dont le poids est de 1000 livres, la gravité spécifique du marbre dont la statue est tirée étant de 170 livres près au pied cube ?

Rep. 170 livres : 1 pied cube :: 1000 livres : 59 pieds cubes près,

3. Une quantité de sable pèse 13 livres : quel en est le vol.?

Rep. D'après la table, la gravité spécifique du sable est de 1.520, c’est-à-dire, 1,525 fois le poids d’un volume égal d’eau ou de

1520 onces au pied cube (puisque le poids d'un 4 cube d’eau est de 1000 onces) ; on fera done 1520 onces : 1728 pouces cubes :: (13 x 16=) 208 onces : x 1728 x 208-2354 pouces cubes.

4. Le poids d’une défense ou dent d’éléphant est de 25 livres ; quel en est le volume ? :

Rep. L’'ivoire est de 1825 onces au pied cube; on aura done le volume de la dent en faisant 1895 : 1 :: (25 livres ou) 409 oùces . .22 près, d’un pied eube où 1825 ouces : 1723 pouces cubes :: 400 onces: 378.74 pouces cubes.

5. Ou demande à déterminer par avance le poids probable d’une grille en fonte de fe: qui doit être coulée d’après un modèle sculptée en bois de pin dont le poids est de 7 livres ?

Rep. On aura d'abord le volume du modèle en pin en faisant d'après la règle (le pin étant censé dans ce cas de 25 livres au pied cube) 25 livres : ! pied cube ::7 livres :.28 d’un pied cube. Maintenant, comme le volume de la fonte sera aussi=.28 d'un pied cube et que le poids de la fonte est de 450 livres au pied cube, on aura le poids de lu grille proposee= 450 x .28=196 livres,

(221) REGLE. Pour déterminer le poids d’un corps d’après son volume ; faites la proportion : un pied cube est au (:) volume du corps proposé, comme (::) sa gravité spécifique est à (:) son poids.

Ex. 1. Le volume d’un monceau de neige sur le toit d’un édifice est de 7000 pieds cubes, le poids d’un pied cube de cette neige, refoulée qu'elle est et rendue lourde par la pluie, ete., est de 30 livres : on demande le poids total dont le toit est affecté ?

Rep. 7000 x 30=—210,000 livres.

2. Quel est le poids d’un lingot d’or pur coulé dont les dimensions sont de 3 pouces par À x + pouces ?

ep. Le volumez=3 x $x4=24 pouces cubes; la gravité spécifique de l'or pur est de 19,958 ; la règle donne, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes : 2} pouces cubes :: 19.958 : x = 19.258 x 2.25 95.075562 onces. 1728

3. On désire connaître le poids d’une tinette de beurre dont le volume, obtenu d’après la règle de l’article (112), est de 1830 pouces cubes ? |

Rep. Le poids spécifique du beurre est de .940 de celle de l’eau, c'est-à-dire, de 940 onces au pied cube, on aura done le poids voulu = 1830 x 940=9954 onces,+16=62 livres 34 onces.

4, Quel est le poids près d’un plançon de chêne anglais demi-sec dont le volume est de 150 pieds cubes ?

Rep. Le chêne demi-sec, d'après la table, est de 66 livres près au pied cube, d’où le poids voulu, est de 150 x 66—9900 livres.

5. Quel est le poids près d’une caisse de livres reliés dont le. volume est de 15 pieds cubes ?

Rep. 15 pieds cubes x 43 livres près =645 livres.

PROBLÈME LXII

Déterminer le poids spécifique d’un corps ou substance quelconque.

(222) REGLE I. cubez et pesez le corps proposé, pour faire ensuite la proportion ; le volume du corps est à (:) son poids en onces, comme ( :: ) un pied cube de tel corps, est au (:) poids d'un pied en onces, c'est-d dire, en séparant trois chiffres pour décimales, à sa gravité spéci- Jique.

Ex. I, Quelle est le poids spécifique du noyer noir sec, si un échantillon de ce bois dont les dimensions sont de 11 x 7 x .9 pouces, pèse 24 onces ?

Rep. 11*X*7x.9=69,3 pouces cubes=vol. du corps proposé; maintenant, d’après la règle 69. 3 pouces : 24 onces :: 1728 pouces : 598 onces où 37.4 livres; la gravité spécifique voulue est donc de .598 de celle de l’eau dont le poids est de 1000 onces au pied cube.

2. Un morceau irrégulier de craie dont on a pu obtenir le volume, 432 pouces cubes, par la méthode de l'exemple 4 de l'avant dernier problème, pèse 434 livres: on demande la gravité spécifique de cette substance ?

Rep. 432 pouces : 1728 pouces :: 434 livres :174 livres ; d’où, la gravité spécifique voulue est de 174 x 16—2784 fois le poids d’un égal volume d’eau.

8. Un bateau ou ponton de 100 pieds par 20 x 10 pieds et dont le volume total est en conséquence de 20,000 pieds cubes, a requis pour le construire 5000 pieds cubes de pin blanc demi-sec dont on estime le poids à 40 livres au pied cube, 500 pieds cubes d’orme estimé à 50 livres a: pied cube, et 5000 livres pesant de chevilles en fer: on demande quel sera le tirant d’eau du bateau proposé ?

Rep. Le poids du pin = 5000 x 40 = 200,000 livres, le poids de l’orme= 500 x 50=25,000, le fer 5000 livres ; le poids total du bateau est en conséquence de 230,000; le poids moyen ou la gravité spécifique du ponton est de 230,000 livres + 20,000 pieds cubes= 11.5 livres au pied cube, c-à-d. de 11.5 x 16—184 onces au pied cube, soit .184 du poids d’un même volume d’eau. La hauteur du ponton est de 10 pieds ; donc le tirant d’eau sera .184 de la hauteur du ponton ou 1.84 pieds, c.-à-d. L pied 10 pouces et .96 de pouce=1 pied 11 pouces près.

4. De combien pourra-t-on charger le ponton ou bateau du dernier exemple, sans le faire sombrer ou caler au-delà de sa surface supérieure ?

Rep. Puisque l’eau pèse 62,5 livres au pied cube et que le volume total du ponton est de 20,009 pieds cubes, le poids total de l'eau que devra déplacer le ponton avant que de caler à l'affleurement de l'eau est 20,000 x 62,5=1,250,000 livres, or le poids du bateau n'est que de 230,000 livres; d'où il suit qu'on pourra encore sans faire sombrer le bateau le charger d'un poids égal ou presque égal à la différence entre 1230,000 livres et 239,000, e.-à-d. 1020,000 livres:

(223) REGLE 11. Si le corps a estimer est plus pesant que l’eau; pesez d'abord le corps duns l'air puis duns l'eau, au moyen d'une balance hydrostatique ; la différence entre Les résullats sera le poids perdu duns l'eau, ou Le poids d'une quantité d'eau égal en volume ou corps. Faites alors la proportion : comme le poids perdu dans l'eau (:) est au poids du corps dans l'air, (::) de même la gravité spicifique de l'eau (:}est lu gravite spécifique du corps.

EX. I Un morceau d'étain pèse 183 livres, son poids dans l’eau n’est que de 158 livres: quelle est la gravité spécifique de l'étain ?

Rep. 183 — 158 = 95 : 183 :: 1000 : 7320 = gravité spécifique demandée.

2. Un bloc de granit pèse 21 onces dans l'air et seulement 13 onces dans l’eau: quelle est la gravité spécifique du granit ?

ep. 2025.

(224) REGLE IIT. Si le corps a estimer est moins pesant que l’eau; altachez uu corps proposé par un fil dont le poids soil relativement nul, un autre corps plus lourd ou pesant que l'eau, de manière que les deux pris ensemble puissent pénétrer ou s'enfoncer dans l'eau; ayant préalaïlement pesé chaque corps dans l'air, et Le plus pesant dans l'eau, pesez ulors dans l'eau le corps composé, et du poids perdu par le corps composé, soustrayez le poids perdu par le corps plus lourd tel que pesé seul ; le reste est le poids perdu pur Le corps léger. Alors : le poids perdu par le corps léger dans l'eau, (:}) est au poids de ce corps dans L'air, (::) comme la gravité spécifique de l'eau (: } est à la gravité spêrifique du corps.

Ex. 1. À un morceau d’orm qui dans l'air pèse 15 grains, on a attaché un morceau de cuivre dont le poids est de 18 grains dans l'air et de 16 grains dans l’eau, et le composé dans l'eau ne pèse que 6 grains: quelle est la gravité spécifique de l’orme ?

Rep. 13-16 = 2=le nomlie de grains perdus par le cuivre

dans l'eau.

18 + 15—-6—27=le nombre de grains perdus par le composé dans l’eau.

27— 2 —25=le nombre de grains perdus par l’orme dans l’eau.