PC

Les lignes de la 21 sorte peuvent s'aCCOUpler deux i deux deux manières :

1° Ce que j'appellerai la lime b\ sera formée de d:ux lit* la 2dc sorte, joignant un même point P(tf*) a deux points .' P(flJ), correspondant aux deux cases a] et a\ séparées par la L Il y aura donc autant de lignes b\ que de laces a2.

2° Ce que j'appellerai une ligne c sera formée de deux lignes delà 2dc sorte, joignant un même point P(aï) à deux points P(a:) et PÇal), correspondant a deux laces a2 et (7' de la case a\.

Il nous faut définir des surfaces que j'appellerai les surfaces /':.

Soit une arête quelconque a\ et le point P(tf{). Supposons que les faces qui passent par a\ , soient successivement :

a\ > a\ y • • • > *\ i et que les cases, auxquelles appartient a\ , soient successivement :

de telle façon que a\ sépare a\ de a\ , fl] sépare a\ de ./;

qu'enfin, a2 sépare a] de a\. Convenons, pour plus de symétrie, de désigner indifféremment la case al par al ou a1 .

Décomposons chaque case en tétraèdres, et envisageons en particulier les tétraèdres qui admettent pour sommet le point P(«J). sidérons les 2 q triangles curvilignes :'

n*SP(«ï)P(*ï), P«)P«.,)*(*Î> (*=., a, .... «)

32 H. PO INC ARE.

L'ensemble de ces 2q triangles formera un certain polygone que j'appellerai b\ , et qui aura pour frontière l'ensemble des lignes .

Définissons maintenant les volumes ty.\ le volume M sera l'ensemble des tétraèdres qui admettent pour sommet le point a°; ce volume sera un polyèdre à 3 dimensions, simplement connexe, qui aura pour frontière l'ensemble des surfaces b\ , correspondant aux arêtes a\ , qui aboutissent au point a°.

La juxtaposition des volumes b\ constituera un nouveau polyèdre P', que j'appellerai le polyèdre réciproque de P, et qui aura pour cases le b\, pour faces les b]t pour arêtes les b\, pour sommets les points b° = P(af).

A chaque case b\ de P' correspondra un sommet a° de P, » » face b\ » » » une arête a] » »

» » arête bl » » » » face a2 » »

» » sommet b° » » » » case a}. » ».

De plus, au sens du § II, il y aura la même relation, par exemple, entre l'arête b1- et la face b2, qu'entre la face a2 et l'arête a1.

Si donc les congruences caractéristiques du polyèdre P s'écrivent :

celles du polyèdre P' s'écriront :

Considérons maintenant une ligne c, formée de deux lignes de la seconde sorte, joignant un même point P(tf-) à deux points P(û£) et P«).

Soient a°m et «° deux sommets, appartenant respectivement tous deux à la case a]. Soient d et d' les deux lignes de la 3ème sorte qui joignent respectivement P(a2) à a°n, et P(a£) à 0°.

Comme a°m et a° appartiennent à une même case a?, on pourra aller de l'un de ces sommets à l'autre, en suivant une ligne brisée formée d'arêtes a1 appartenant à #|.

COMPLÉMENT i ■' 1$ MTUS. 33

Soit ^>~ a' cette ligne brisée, il"!!1 ! l'ensemble des lignes c — d — f a\ -f" & sera un^.

que j'exprimerai par la COH TUence :

cesd+ 2>j — à'.

Connue a\ est simplement connexe, cette ligne fermée sera la frontière d'une variété à 2 dimensions, intérieure à tfj, ce que j'exprimerai par l'homologie :

Réciproquement: soit X''' un'-' ^nc brisée, formée d'à: appartenant toutes à a], et dont les extrémités sont les sommets fl* et rt°; ces deux sommets appartiendront respectivement a deux faces a) et flj, faisant toutes deux partie de 0?. Soient les trois lignes:

c = PQQPÇal) + P(aï)P(a& d = P(a))a°at d' = P{a[)a;.

On aura encore

c ^ d -\- *Y al — d'.

Soit maintenant a° un sommet appartenant à deux faces Soient les deux lignes de la ymc sorte :

Nous pouvons tracer une ligne L, s'écartant infiniment peu du sommet a°, et allant d'un point de a2 a un point de

Supposons, pour fixer les idées, que cette ligne traverse tn et qu'elle rencontre successivement la face a2 , la case a3. , la fac la case a)n, la face cf , la case a* et enfin la face

Construisons les trois lignes c :

c. = P(a))P(af) 4-P(,;)P<V),

et les deux lignes de la 3Ème sorte :

On aura :