C-^d- — à , c ^d — dh , ch^^d. — dy

et comme les trois cases a3. , ^ , a| sont simplement connexes : c-<r^d- — d , c <ro d — dh, che^>dh — dy ,

et enfin :

<7 + c„ + ^ ^ <*/ — dr

On peut donc toujours trouver une ligne brisée, formée de lignes c et homologue à d- — dk, d- et dk étant des lignes de la 3èn*e sorte, aboutissant à un même sommet.

Cela posé, soit

(l) Z&ÏSO

une congruence entre les arêtes b) du polyèdre P'.

La ligne brisée ^/ &* est évidemment formée d'un nombre pair de lignes de la 2ème sorte, et en parcourant cette ligne brisée, on rencontrera successivement q faces

pour revenir à la face a2, que je désignerai également par a2 ; et on rencontrera q cases

a\ , a 3 , ... , aj ,

pour revenir à la case a], que je désignerai également par 0* , de sorte que la face a\ séparera la case a\ de la case a\+ï. Notre congruence s'écrit alors :

^(«j)PW + P«)P(ag]so,

COMPI.i'.mi.vi \ L*AWA1 \ : 3J

ou, ce qui revient au même,

Soit alors ii'l un sommet de la face a], appartenant, par conséquent, à la fois aux ( et a^.

Soit tll: la ligne de la 3"" sorte Pdr^d]'; nous venons de voir qu'il existe une ligne brisée Ahi formée d'arêtes appartenant à la case d'i, et telle que l'on ait l'homologie :

En additionnant toutes ces homologies, le premier membre se réduit à :

I[POL,)PO» + nàQPWSl = Z^i

les lignes de la 3ùmc sorte </,. disparaissent, et il reste : et par conséquent

Donc, à toute congruence T./',' = 0 entre les arêtes de P', correspond une congruence T Ak = 0 entre les arêtes de P, et telle que l'on ait :

Si donc on a 2 K <rvJ °> ou aura 2L. 4k e<* 0, et réciproquement. Soit maintenant

une congruence entre les arêtes de P; supposons que .-/. soit une ligne brisée formée d'arêtes appartenant à la case a\.

Le premier membre de la congruence (2) se composera de q

semblables lignes brisées :

Ai} A2, ... , Aq,

et je désignerai indifféremment Al par A1 ou A , et A par Ao ou At .

Soient a°; et a°h les deux extrémités de la ligne Ak; le sommet a°k appartiendra à la fois aux cases a\ et ci\+I; soit cil ^a ^ace ^e al> et a2k+l la face de a\+i , auxquelles appartient a°h.

Soient les lignes de la 3ème sorte

d\ = P{al)a% d];+l = P{al+i)a°h, et d'autre parte :

Nous avons vu que

A^~dk + h + d'r

D'autre part, les lignes dk hï et d'k aboutissent à un même sommet a°k; nous avons vu également que l'on peut trouver une combinaison Ck de lignes c, telle que l'on ait

En additionnant toutes ces homologies, je trouve :

et par conséquent :

Le premier membre de cette dernière congruence est une combinaison de lignes c, ou, ce qui revient au même, une combinaison d'arêtes b\ du polyèdre P ', de sorte que je puis poser :

d'où

En résumé: à toute congruence entre 1. une COngruence entre celles de P', et réciproquement, et la condition nécessaire et suffisante pour que le premier membre de 1' on-

gruences soit homologue à zéro, c'est que l'autre le soit.

En d'autres termes, le nombre des congruences di arêtes est le même pour P et P', en ne considérant pas des congrues comme distinctes, quand une combinaison linéaire d -rs meml

de ces congruences est homologue à zéro.

En d'autres termes encore, le nombre de Betti réduit, relatif aux arêtes de P, est égal au nombre de Betti réduit, relatif aux arêtes de P'.

On pourrait arriver au même résultat, en remarquant que l'on peut construire un polyèdre qui serait, a la fois, dérivé du polyèdre P et dérivé du polyèdre réciproque P', et en appliquant le théorème du S 5-

Nous verrons plus loin, au § 10, que cette proposition peut être présentée sous une autre forme.

D'autre part, cela peut permettre, plus simplement qu'au § 5, de démontrer que les nombres de Betti réduits sont égaux aux nom. de Betti proprement dits.

En effet la définition du polyèdre P' comporte un certain arbitraire : ses sommets b° ne sont assujettis qu'a être intérieurs aux cases a\ de P. Dans ces conditions, on peut évidemment choisir toujours le polyèdre P' de façon qu'une ligne fermée quelconque soit une combinaison des b\.