VIII
Démonstration du théorème fondamental.
Soit Nt le nombre des arêtes de notre polyèdre P, Na le nombre des laces, N celui des cases. Formons un tableau d'après les règles suivantes.
38 H. POINCARE.
Le tableau aura N2 -\- iV, colonnes, N2 dites de la ière sorte et N, dites de la 2de; il aura N2 -f- Nt lignes, N2 de la ière et, Nt de la 2de sorte. Voici quels seront les éléments du tableau :
i° Pour l'élément de la ième ligne de la ière sorte et la ;*ème colonne de la ière sorte, j'écrirai i, si i = )', et o, si ij^j.
2° Les éléments appartenant à une ligne de la 2de sorte et à une colonne de la 2de sorte, seront tous nuls.
3° L'élément de la ièmc colonne de la ière sorte et de la;ème ligne
de la 2de sorte, sera z] . , z) . étant le nombre qui nous fait connaître
la relation entre la face cf. et l'arête a1-.
4° L'élément de la ième ligne de la ière sorte et de la ;'ème colonne de la 2de sorte, sera t\ , , c'est-à-dire le nombre qui fait connaître la relation entre la case a?- et la face a\.
Notre tableau, s'il y a par exemple deux cases, quatre faces et trois arêtes, présentera un aspect tel que celui-ci :
Je n'ai pas écrit les indices des nombres £ pour simplifier.
Voici maintenant les opérations que je regarde comme permises sur ce tableau.
i° Ajouter une colonne à une autre de' même, sorte, ou l'en retrancher.
2° Ajouter une ligne à une autre de même sorte, ou l'en retrancher.
3° Permuter deux colonnes de même sorte, en changeant tous les signes de l'une d'elles.
[PLÉMEN1 À L*AN>
4° Permuter deux lignes de moi te, en changeant i
signes de l'une d'elles.
Toutes ces transfon pour fcsquull
restent entiers, s'appelleront les transformations arithmétiques du tab!
( )n peut s'en servir pour simplifier la partie du tableau qui appartient aux colonnes de la i orte et aux de la 2 te, et
celle qui appartient aux colonnes de la 2 : sorte et aux lignes de la iirc sorte.
Voici jusqu'où l'on peut pousser la simplification, d'après des théorèmes bien connus d'arithmétique; quand la réduction sera terminée:
L'élément de la j*"*" colonne de la icru sorte et de la / : de la 2dc sorte :
i° Sera nul, si i ]> j.
2° Sera égal a un entier Hii qui pourra are nul, si i = /.
30 Sera encore nul, si i < j et si IL est premier avec H-.
40 Enfin sera nul, si j ^> N2.
Il en sera de même de l'élément de la ièn" ligne de la 1- sorte et de la /ème colonne de la 2de sorte.
La réduction peut être poussée encore plus loin, si l'on autorise une cinquième opération : multiplier tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par un même nombre entier ou non, différent de zéro.
Les transformations correspondantes s'appelleront les transformations algébriques du tableau.
On peut alors supposer que l'élément de la ïnw colonne de la iùrc sorte et de la /'me ligne de la 2de sorte (de même que l'élément de la ième ligne delà i6rc sorte et de la /ème colonne de la 2Jc sorte) est nul, si i ^é j. Si i = j, il peut être égal A 0 ou à 1 . S'il eu ainsi, je dirai que le tableau est réduit.
Après la cinquième opération, les éléments qui appartiennent aux lignes et aux colonnes de la iirc sorte pourront ne pas rester eut de plus, le déterminant formé par ces lignes et ces colonnes pourra ne pas rester égal à 1, mais il restera différent de zéro.
Le tableau (1) est relatif aux faces du polyèdre P et à leurs relations avec les cases et les arêtes. Nous pourrions en un,
tout pareil, relatif aux arêtes du polyèdre P et à leurs relations avec les faces et les sommets.
Nous pourrions également envisager le polyèdre P', défini plus haut, et construire deux tableaux relatifs l'un aux faces de P', l'autre à ses arêtes.
Comparons le tableau (i), relatif aux faces de P, avec le tableau (ihis) relatif aux arêtes de P'.
Il résulte de ce qui précède, que ces deux tableaux peuvent se déduire l'un de l'autre en remplaçant les lignes par les colonnes et inversement.
Cela posé, envisageons le tableau (i), relatif aux faces de P, et examinons comment on peut déduire de ce tableau le nombre de Betti P, du polyèdre P.
Comment, d'abord, pourra-t-on en déduire, les CQngruenc.es entre les faces et les arêtes ?
Considérons une colonne quelconque de la ière sorte; par exemple la ième colonne. Multiplions les éléments de cette colonne et de la kème ligne de la ière sorte par a\ et ajoutons; puis égalons à la somme obtenue, en multipliant les éléments de cette même colonne et de la yème ligne Je la 2de sorte par a1.; nous obtiendrons la congruence
ce qui est bien une des congruences (3) du § IL Toutes les autres
congruences n'en sont que des combinaisons.
Comment pour ra-t-on maintenant trouver les ho m ologies entre les faces} Pour cela, envisageons par exemple la fème colonne de la 2de sorte;
multiplions les éléments de la kèmG ligne et de cette colonne par a2h,
ajoutons et égalons à zéro; nous trouverons :
ce qui est bien une des homologies (5) du § II, dont toutes les autres ne sont que des combinaisons.
Qji adviendra-t-ïl, maintenant, si l'on applique à notre tableau (1) une transformation algébrique quelconque ?
Avant la transformation, chaque colonne de la ière sorte correspond
à une face, chaque colonne de (a :
de la i ■ rte à une face, chaque I
On obtient, comme nous L'avons vu, autant d'hon i ' [ue de o en miil; jaque
Ligne de la r" sorte par la face correspondant
dj la 2l sorte par Tara: correspondante, et ajoutant.
Suj maintenant qu'on fasse la de
dire qu'on transforme en ajoutant la ligne de 'a I*™ sorte, qui correspond à a], à celle de la r sorte, [ui correspond à a\. Nous convenons de dire qu'à la nouvelle À" ligne (celle à laquelle on a ajouté la / ligne) correspond toujours la variété a\\ nuis qu'à la nouvelle £ème ftgne ^q^ d'ailleurs n'a pas changé) correspond la variété oj — a\.
Si l'on fait la cinquième opération sur la />'-' ' - ligne de la i en en multipliant les éléments par une constante ;//, nous conviendrons
de dire qu'à la nouvelle /ccniL ligne correspond la variété — a\ (notation
qui n'a qu'une valeur symbolique, à moins que — ne soit entier).
Quant à la quatrième opération, ce n'est qu'une combinaison de plusieurs opérations analogues à La deuxième.
Nous avons ainsi défini la variété qui correspond à chacune des lignes de la ière sorte du tableau, après qu'on a appliqué à ces I une combinaison quelconque des 2ème, 4*me et 5ime opérations.
Nous définirions de même les variétés qui correspondent aux différentes lignes de la 2Je sortJ, après qu'on aurait appliqué à ces une combinaison des 2ùmc, 4ème et jème opérations.
Grâce à ces conventions, il suffira encore, pour obtenir les con- '^■'dcnc^s et les homologies, d'ajouter et d'égaler à zéro, après avoir multiplié les éléments de chaque ligne par la variété correspondante, et avoir changé le signe des produits ainsi obtenus, en ce qui con( les lignes de la 2Jc sorte.
Maintenant, si l'on applique aux colonnes du tableau les 1 et 5ème opérations, on ne fera que combiner les congruences entre elles, et les homologies entre elles; ou multiplier une congruence et une homologie par un facteur constant.
D'où le résultat suivant :
42 H. PÔ INC A RÉ.
Polir déduire les congruences du tableau transformé, voici ce qu'il faut faire : multiplier chaque ligne de la ière sorte pour la variété qui lui correspond en vertu de la convention que nous venons de faire, et ajouter; faire de môme pour les lignes de la 2de sorte; égaler les deux résultats ainsi obtenus; on aura ainsi autant de congruences que de colonnes de la ïére sorte; toutes les autres congruences possibles ne seront que des combinaisons.
Pour déduire de même les homologies, il faut : multiplier chaque ligne de la ïère sorie pour la variété correspondante, ajouter et égaler à zéro; '6b. aura ainsi autant d'homologies que de colonnes de la 2de sorte; toutes les autres homologies possibles n'en seront que des combinaisons.
Il importe de remarquer que les congruences et homologies ainsi 'obtenues, pourront n'avoir qu'une valeur symbolique, parce que les coefficients pourront être fractionnaires.
Et, en effet, d'une part les éléments du tableau transformé peuvent ne plus être entiers; d'autre part, la variété qui correspond à une ligne peut, comme je l'ai dit plus haut, n'avoir elle-même qu'une valeur symbolique.
Mais comme les coefficients, entiers ou non, sont toujours commensurables, il suffira de multiplier notre congruence ou notre ho- ' mologie par un entier convenable, pour en déduire une congruence ou une homologie à coefficients entiers, qui aura un sens pour ellemême.
Supposons , maintenant, qu'on ait réduit le tableau, comme je l'ai dit plus haut.
Combien y aura-t-il d'homologies distinctes ?
Parmi nos N, colonnes de la 2de sorte, il v en aura N, — N' dont tous les éléments seront nuls, et N2 dont un élément sera égal à i et tous les autres nuls. Les N, — AT premières ne nous donneront aucune homologie; chacune des N' autres nous en donnera une et ces N'2 homologies seront évidemment toutes distinctes.
Il y a donc N2 homologies distinctes.
Combien y a-t-il de congruences distinctes entre les faces et les arêtes ?
H y en a évidemment N2 , correspondant aux Nz colonnes de la
rus. 15
i sorte, et ces COngruences son: d parce que le ant
formé avec les lignes et Ils colonnes de la j |L
Considérons maintenant dans notre tableau réduit I de la 21, sorte; parmi elles il y en aura Nt — N'} dcuit b ments sont nuls, et N'2, dont un élément est égal à i ^: KO nuls. Parmi nos N2 congruences il y en aura dût ! A :cn-
dront une arête, et N2 — N2' qui ne contiendront aucune are: donc N2 — AT congruenecs entre les faces seulement, et ces congruei sont toutes distinctes.
Il y aura donc entre les faces seulement N2 — N2 — A',' congruences, qui resteront distinctes, si l'on ne regarde plus comme distinctes celles que l'on peut déduire les unes des autres par le moyen des homologies.
Le nombre de Belli relatif aux faces de P est donc:
N2-N'2-N"2Jri.
Cherchons maintenant le nombre de Betti relatif aux arêtes de P.
On le trouvera évidemment en opérant comme nous venons de faire sur le tableau (ibis), relatif aux arêtes de P\
Mais ou passe d'un tableau à l'autre, en remplaçant les lignes par les colonnes, et réciproquement. Les nombres qui joueront^ par rapport à (ibis), le même rôle que
jouent par rapport a (i), seront donc respectivement:
Donc le nombre de Betti relatif aux arêtes de P' est encore:
,V2 — AT — N2+ i.
Ainsi les nombres de Betti relatifs, l'un aux faces de P, l'autre aux arêtes de P', sont égaux.
Or nous avons vu plus haut que les nombres de Betti relatifs aux arêtes de P et à celles de P' sont égaux, de même que les nombres de Betti relatifs aux faces de P et à celles de P'.
Donc le nombre de Betti relatif aux faces de P est égal au nombre de Betti relatif aux arêtes de P.
Notre théorème fondamental est donc démontré en ce qui concerne le polyèdre P, c'est-à-dire, en ce qui concerne les polvèdres de l'espace à quatre dimensions.
La démonstration pourrait, sans aucun doute, s'étendre à un polyèdre quelconque.
S ix.
Kernarqties diverses.
Le théorème fondamental est ainsi établi par une démonstration, qui diffère essentiellement de celle de la page 43 de YAualysis situs.
Mais cela ne saurait pas nous suffire. Il faut nous efforcer de retrouver les propositions intermédiaires, et, en particulier, celle-ci :
La condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse trouver une variété V telle que 2Ï N ( V, V^) 7^ o, c'est que l'on n'ait pas l'ho-
mologie ^ Vi <^> 0.
Considérons deux variétés, la première Vx , à une dimension, composée d'arêtes de P', la seconde V2, à deux dimensions, composée de faces de P, de telle sorte qu'on aura :
F1 = Ta.b% V = Ta'a2,
I ' l IJ 2 ( 1 l l '
l'arête b\ étant celle qui correspond à la face a], d'après les conventions du § 7.
L'arête b\ coupe la face a\, et n'en coupe aucune autre, de telle sorte que si nous reprenons la notation de YAnalysis situs, pag. 38, nous aurons :
Nous supposerons dans ce qui va suivre, que les variétés Vx et
