DÉTERMINATION DE LA TRANSFORMEE D'UNE COUCHE HORIZONTALE

Dans rintervalle des deux transformées des génératrices du cylindre extérieur et du cylindre central, nous venons de voir que chaque horizontale primitive était représentée par une horizontale de même niveau.

D'un autre côté, elle est également représentée, dans Tintérieur du cylindre central, par une horizontale dont le niveau est indiqué

POINÇONNAGE ÛES MÉTAUX. 105

par les formules spéciales se rapportant à la distribution des cour cbes dans le cylindre central.

Si Ton joignait par une ligne droite les points les plus rapprochés de ces deux représentations d^une même horizontale, on

. R, jj

obtiendrait graphiquement une première notion de la transformée tout entière.

Cest ce que nous avons fait pour les deux croquis ci-joints (ligures 68 et 69) , danslesquels nous avons supposé que le poinçon était descendu jusquen £ ou jusqu'en J. Ces croquis ressemblent déjà aux figures dessinées d'après les échantillons ^ mais il est évident que la transformée Se de Time des lignes, devant se trans-

Poinç')nnage des métaui.

former en Se' lorsque le piston descend jusquen J, la corde Se sera nécessairement repoussée au-dehors par le passage du poinçon, et deviendra ainsi plus verticale.

En fait, ces lignes, qui ne peuvent être droites, di£F(brent, en

réalité, très-peu do lignes droites, et, pour obtenir leurs équations, il suffirait d'étudier successivement les déplacements d'un même point tant qu'il est contenu dans le cylindre central, et, à partir du moment où il est arrivé sur le cylindre de rayon Rj, de suivre son déplacenîent horizontal jusqu'à sa position finale, correspondant à un enfoncement déterminé du piston.

S'il s'agit, par exemple, de trouver la position finale du point m (figure 70) , situé primitivement sur le rayon Ofiv du cylindre primitif, on remarquera que le point v étant venu en y, et le point fi

Figure 70.

en e, conformément aux déplacements déjà étudiés, le point intermédiaire m se placera nécessairemeni en M, sur la courbeye, dont il faut trouver Téquation. Or, ce point m na, pu venir en M que par deux évolutions successives. Tune qui Ta amené de m en N, sur le cylindre primitif, et Tautre, horizontale, qui la porté de N en M. Les coordonnées primitives y^ et p« du point m serviront à déterminer l'ordonnée y du point N lorsque p^ sera devenu R^, et y étant ainsi déterminé , pour un certain abaissement du poinçon , il suffira de calculer ensuite ce que sera devenu R^ dans le

plao MN, lorsque le poinçon sera arrivé & sa position finale, dé* finie par la hauteur h.

Les calculs devront varier suivant la position primitive du point m, et nous nous bornerons à considérer le cas où m étail, dèsTorigine, dans la sphère d'activité de Taction du poinçon.

Dans ces conditions, Téquation à considérer est (3)

D'un autre côté, tant que le point m n est pas sorti du cylindre central, la condition de la constance du volume se traduit par

et, à la limite,

En substituant dans la première équation la valeur de h — y qui résulte de celle-ci, Téqualion principale se simplifie d*une manière remarquable, et devient

log'5i = 5(H-A).

La valeur de h qui en résulte indique le degré d*avancement du poinçon nécessaire pour que le point m soit venu en N, et il ne nous reste plus qu'à nous rendre compte du déplacement de N en M.

Si nous désignons pour un instant par A' la valeur qui vient (Fétre trouvée pour renfoncement du poinçon, au moment où m est venu en N, et par y', Tordonnée correspondante du point N, nous aurons ainsi les deux relations

log'^' = l(H-A'),

.p2(H-j.)»RÎ(A'-y),

ce qui permettrait de déterminer y.

Le problème revient alors à celui-ci : étant donné un point N, d'ordonnée y, sur le cylindre central, déterminer, sur le même parallèle, son abscisse r, lorsque le poinçon est descendu de //en h.

Le point N étant nécessairement plus rapproché de la base du poinçon que ne Tétait le point primitif m, avant tout déplacement, est, a fortiori, placé dans la zone d^activité, et, dès lors, nous lui appliquerons les formules établies pour cette condition, en remplaçant H par h' et h par y» ce qui donne

p'=-Ki — j —

On a ainsi trois équations, entre lesquelles on éliminera h' et po, pour obtenir Téquation cherchée de la courbe ye. On obtient ainsi

,og'«Î^J(H-A') ou |og'^^;(H-A'),

et , en mettant pour h' sa valeur tirée de la dernière relation ,

, , (H-y.)Rî 1 /„ /p'-R.(/-y) x

Iog'5j^) = J,,[RÎ(H4-/-y)-/p«],

équation applicable seulement quand y>L

On opérerait d^une manière analogue pour toute autre valeur de Vo, en utilisant, dans chaque cas, les équations appropriées.