CHAPITRE II

Tnéorie des pôles et des polaires*

83. — Considérons la courbe représentée par Féquation (i) f[x,y) = o,

équation que nous supposerons algébrique, entière et du degré m. Nous savons que la tangente à cette courbe, au point dont les coordonnées sont x et y, a pour équation

(X-:r)f. + (Y-y)/; = o, ou bien

Les coordonnées a? et y du point de contact entrent au degré m dans cette équation ; mais il est possible de faire disparaître les termes du degré m. Remplaçons, en effet, dans l'équation (i),

X par—, y par - et multiplions ensuite par s*"; le premier

membre de cette équation deviendra un polynôme du degré m en Xi y et z^ et, comme ce polynôme sera homogène par rapport à ces trois lettres, si iious les désignons par f{x^ y, z) , nous aurons l*identité suivante :

^fz + yf'y + zf\=: mf[x, y, z) , d'où

THÉORIE DES PÔLES ET DES PbLAlRES. ?»1

Ofç si nous rçimplaçops, dans cette seconde identité, x et y, par Ifis coordonnées du point de contact, et z par l'unité, le premier membre se réduit à TexpressioR xf'^+ yf'y telle qi^'ell^ eqtre dans l'équation de la tangent^, et le second membre, 4oiit le premier terme s'annule, puisque ^e point de contact est sur la courbe, se réduit à la valeur que prend — zf\ quand on y fait z= 1. Nous pouvons donc remplacer, dans l'équation de la tangente, xf„ + yf\ par cette valeur' de — zf'z. Ce changement met l'équation de la tangente sous la forme

et comme il faudra remplacer z par l'unité quand on aura calculé les dérivées partielles de /'(j:,y,2), si nous convenons de remplax^er aussi Z par l'unité, nous pourrons écrire l'équation de la tangenfe sous la forme très-symétrique

34. — Considérons maintenant un point quelconque p, ayant poi^: coordonnées x^ et y^ et cherchons les tangentes qu'on peut mener de ce point à la courbe donnée. Celle de ces tangentes dont le point de contact aura pour coordonnées x et y sera représentée par l'équation (2) ; or cette tangente passe par le point p; donc l'équation (2) sera satisfaite quand on y remplacera X par x^ et Y par j/j, ce qui donne la relation suivante:

relation qi^'pn écrira sous la forme symétrique

(3) ^J.:fi/J'. + hr. = o,

et dans laquelle on remplacera z et z^ par l'unité.

On voit par là qi^e les coordonnées des points de contact sont déterminées par l'équation (3) jointe à l'équation (i) de la courbe. L'équation (3) ét^nt du même degré m — i et Féquation (1) du

32 lTvRE I. — CHAP. II.

degré m , il y aura en général un nombre de points de contact, et par suite de tangentes, égal k m{m — i). Le plus souvent quelques-unes de ces tangentes seront imaginaires.

Lorsque m est égal à 2 , le nombre des tangentes est aussi égal à 2. Par un point pris dans le plan d'une courbe du second degré on peut donc mener à cette courbe deux tangentes réelles ou imaginaires.

Tltéorème I.

35. — Si par un point p, pris dans le plan d!une section conique^ on mène une sécante quelconque mm' (fig. 18), le point p', conjugué harmonique du point p par rapport aux deux points d* intersection m et m! de la sécante et de la courbe^ décrit une ligne droite , lorsque la sécante tourne autour du point p.

Fig. 18. Représentons, en effet, par

f{x, y) = A x« + Bxy + Cy« + Dx + Ey + F = o,

r équation de la section conique; et par x^ et y^ les coordonnées du point p. La sécante pmm' sera représentée par les équations

Si Ton désigne par a et 6 les cosinus des angles que la sécante fait avec les axes, et par p la distance du point p au point de la droite dont les coordonnées sont x et y. Ces équations donnent

x=:x, + ap, y = yi + *p, et ces valeurs de x et de y, portées dans l'équation de la sec^

TUÉOIUË D£S PÔLES £T DES POLAIUES. 33

tion conique, fournissent une équation du second degré en p, dont les racines sont les distances du point p aux points m et m'. Cette équation en p, qui est

ayant pour racines p' et p", l'équation

fl^t . yi) ^ + «.1 + *rvi) J + Aa» + Bab + C6« =

aura pour racines -7 et -,7, d'où il suit que P P

1 I i-.<ïL±*/V

Or, si nous appelons p^ la distance du point p à son conjugué harmonique p' par rapport aux poii^ m et m\ nous avons

Pi P P

et par suite

Pi /(«j.yi)

d'où

«Pif.» + *p,r« + 2Aa;«, y.) = 0.

Comme le point p' est sur la sécante mm', ses coordonnées x et y satisfont aux équations (4) de cette sécante, et l'on a

En remplaçant dans l'équation précédente ap^ et ftp, par les varleurs que nous trouvons ainsi, nous obtenons l'équation

(3) (x-a;,)r« + (y-yt)r.. + 2/(x„y,) = 0,

a UVRB 1. — CHAP. II.

qui, ne contenant plus les quantités a et 6, représente le lieu du point p\ On voit que ce lieu est une droite.

L'équation (5)' peut' se transformer et se mettre doiis la forme symétrique

(6) ^Ai + y/\t + ^r.i=0;

pour opérer cette transformation on suivra exactement la même marche que pour transformer l'équation de la tangente. Dans Téquation (6) , comme dans l'équation (2) , on remplacera aussi z et z^ par l'unité.

La droite représentée par l'équation (6) s'appelle la polaire du point p, et, réciproquement, on dit que le point p est le pôle de cette droite.

On peut voir à priori que les points de contact des tangentes menées à la courbe par le point p sont situées sur la polaire de ce point : il suffit pour cela de remarquer que Icxrsque la sécante devient tangente, les points m et m' se confondant, il faut, pour

que l'équation — = -^ -|- -^ soit satisfaite que le point p' vienne

aussi se confondre avec les points m et in'. Il en résulte que la polaire du point p coïncide avec la corde des contacts des tangentes menées du point p à la courbe.

36. — Pour reconnaître comment varie la position de la po* laire du point p quand on fait varier dans le plan de la courbe la position de ce point, considérons d'abord une ellipse ^ que nous rapporterons au diamètre passant par le point p, pris pour axe des a?, et au diamètre conjugué du précédent, pris pour a;|e des y. Cette ellipse aura pour équation

et la polaire du point p sera représentée par Péquatîon

THÉORIE D£S PÔLES £T P£S POLAIRES. ib

oe qm lûQntre que cette polaire est paraliële ^ T^xe des y, c'est* ^àke aux cordes que le diamètre op divise en deux parties .égales (fig. 19), et qu'elle se déplace^ en restant canstamment

parallèle à cette direction 'lorsque le point p se meut sur la droite ojc. Quand le pôle est à l'intérieur de la courbe, en p', le par exemple, la polaire est à l'extérieur, en P'. D'abord située à Vinfini, elle se rapproche jusqu'à i^ig. 19. devenir tangente en a à la courbe

donnée, lorsque le pôle va du point au point a. Quand le pôle devient extérieur, la polaire devient intérieure, et elle se rapproche indéfiniment du diamètre oy lorsque le pôle s'éloigne à rinfini sur le diamètre oa?.

Dans le cas de Thyperbole, on obtient des résultats tôttt-â-fsdt analogues lorsque le diamètre op est un diamètre transverse; mais il n'en est plus de mètne quand op est un diamètre imaginaire. Alors le pôle et la polaire, au lieu de se trouver d'un même côté du centre, sont situés de part et d'autre, et la polaire coupe toujours la courbé en ûmK polmi*. Geë résultat* se déduisent immédiatement de la forme que prend l'équation delà polaii^, quand on rapporte la courbe, comme on l'a fait pour Tdlîpse, au diamètre qui passe par le pôle pris pour axe des a?, et au diamètre conjugué pris ponr axe des y.

Ce choix d'axes coordonnés n'est plus possible quand le pôle est situé sur l'une des asymptotes. 8i Ton rapporte alors la courbe à ses asymptotes et qu'(m forme l'équation de la polaire, cette équation montre que la polaire est parallèle à l'asymptote sur laquelle le pôle est sJtné.

Enfin, lorsque la courbe eet une parabole, il est évident, ptdsque la parabole est la limite d'une ellipse j que la polaire est parallèle aux cordes que le diamètre passant paf le pôle divise en deux parties égales. C'est ce que nK«rtre immédiatement Féquafion de la pdkire qnand on prfâid, ponr axe des a le dia-