UVRE I

GHÂP. II.

mètre qui passe par le pôle et pour axe des y la tangéûte au point où ce diamètre coupe la courbe. Cette équation montre en outre que le pôle et le point où la polaire coupe Taxe des x sont de part et d'autre de l'origine des coordonnées, et à égale distance de ce point.

37. — On a vu qu'à tout point, pris dans le plan d'une courbe du second degré, correspond une droite polaire; réciproquement, à toute droite correspond un pôle. En effet, on obtiendra, en identifiant l'équation mx -{'ny -{- p = o avec l'équation (6), les deux relations

f atj / yi / «1

relations qui détermineront les coordonnées x^ et y^ d'un point qui aura pour polaire précisément la droite donnée.

TliéoFème II.

38. — 5t, par un point p pris dans le plan d'une section co^ nique y on mène deux sécantes quelconques ^ qui coupent la courbe Tune en m et en m\ Vautre en n et en n\ les droites mn et m'v! ainsi que les droites mn' et m'n, se coupent sur la polaire du point p.

En effet, soient p' et p" (fig. 20) les points des sécantes pmm! et pnn' conjuguées harmoniques du point p par rapport aux points m et m', n et n' : ces points appartiennent à la polaire du point p par rapport à la courbe. Or le système des deux droites mnq et m'n'q pouvant être regardé comme une courbe du second degré, on peut prendre la polaire du point p par rapport à ce système de droites, et cette polaire sera une droite passant par les points p' et p". Donc la polaire

Fig. 20.

du point p par rapport à la courbq et la polaire du^nême point par rapport au sytème des deux droites qmn et qm'n' ont deux points communs. Il en résulte que ces droites coïncident, et, comble la polaire du point p par rapport au système des droites passe évidemment par le point g, l'autre polaire passe aussi par ce point. On verrait de même qu'elle passe par le point d'intersection q* des droites mn' et nm'.

Ce théorème donne un moyen de construire la polaire d'un point donné p : il suffit de mener par ce point deux sécantes pmm\ pnn! ; de tirer les droites mn et m V qui se coupent en q et les droites mn' et m'n qui se coupent en g' : la droite qq' est la polaire du point p.

flnié#Fème III.

39. — Étant donnée une section conique, si par un point p on mène une sécante quelconque qui coupe la courbe aux points m et m\ les tangentes en ces points se rencontrent sur la polaire du point p (fig. 21).

Ce théorème n'est qu'un cas particulier du précédent : c'est le cas où les points m et n, m' et n' (fig. 20), venant à se confondre, les sécantes nmq^ n'm'q deviennent tangentes à la courbe (fig. 21).

Le mode de détermination du point q montre que ce point est le pôle de la sécante pmm'; de là ce théorème :

Quand une droite pmm' tourne au tour d'un point fixe p, son pôle q décrit une droite P qui est la polaire du point p.

Fig. 21.

iO. '^ RiciproqtiemefU, lonqu'un point Mcrit vm ixoife P» SQ polaire tourne autour d'un point /to# p qui e$t le pôle de la droite P (fig, ai).

Soit, en effet, q une quelconque des positions du point mobile sur la droite P, Menons qm ta^ngente h la section conique ; joignons le point m m point p, et «oit m' le second point de rencontre de la droite mp avec la courbe. Si nous menons par m une tangente h la courbe, le point d'intersection de cette tan* gente avec qm sera le pôle de la droite mm'. Or d'après le théorème précédent ce pôle est sur la droite P, et par conséquent coïncide avec le point q. Donc la droite mm' est la polaire du point g, et sa construction montre qu'elle passe par le point p.

Tkéorèine T.