Quand un quadrilatère abcd est inscrit dans une to

nique (fig. 22), les points de concours eetî des côtés opposés et les

points de concours g et h des tangentes aux sommets opposés sont

situés sur une même droite, quils diment hdrmoniquement.

D'abord ces points sont en ligné droite; car ils appartiennent

tous à la polaire du point d'intersection des diagonales du quadrilatère; ensuite ils forment une proportion harmonique. En effet, eo, polaire du point /", coupe la droite fdb en un point u conjugué harfig. 22. monique de f par rapport aux

points d et 6, et il est évident que les quatre points e, /, g, h se trouvent sur les droites qui joignent le point l aux quatre points n, f, d, b.

Cçtte démonstration prouve en même temps que chaque côté

THiOAIi.dJBS PÔLES ET DES POLAIRES. S9

du triangle eof passe par deux points de concours des tangentes aux sommets du quadrilatère et est divisé harmoniquement par ces deux points de concours. Elle prouve aussi que, dans un quadrilatère circonscrit à une conique, si Ton groupe arbitrairement les côtés en deux couples, puis qu'on joigne par des droites les poiifts de contact des côté# d'une même couple et les points de rencontre des côtés de couples différentes, les quatre diroites ainsi obtenues passent par un même point et forment un faisceau harmonique.

h% *— Étant données deux coniques dam un plan, î( y a, dans ce plan» trois pôles doubles^ c'est^^dire trois points^ réels ou imaginaires^ qui ont même polaire par rapport aux deux coniques.

En effet, deux coniques se coupent en quatre points réels ou imaginaires, ce qui donne lieu à trois couples de sécantes communes, et il résulte du théorème II que le point dintersection de deux sécantes communes d'une même^ couple est un pôle double.

Il n'y a d'ailleurs que ces trois pôles^doubles; car si p, (fig. 28)

est un pôle double et qu'on le joi- .gne à l'un des quatre points d'intersection a par une droite Pia qui coupera les coniques aux deux autres points 6' et 6", il faut, pour que le conjugué harmonique du point p^ par rapport à ab' et par rapport à ab" soit le même, que b' coïncide ' avec 6", c'est-à-dire que la droite Pj a se confonde avec une sécante commune. Ainsi donc le point p^ doit appartenir à une sécante com - Fig. ». mune ; on montrerait de même qu Q

àO

doit appartenir aune seconde sécante commune; et, par .conséquent, qu'il doit être à l'intersection de deux sécantes d'une même couple.

Les trois pôles doubles ^, n, p, forment un triangle dont chaque sommet admet pour polaire le côté opposé par rapport aux deux coniques. ^ »

Il y a de même dans le plan trois polaires doubler et trois seulement, puisque la polaire de chaque pôle double est une polaire double ; ce sont les côtés du triangle mnp.

Si les coniques se coupent en quatre points réels, il est évident que les trois pôles doubles sont réels ; si les coniques se coupent en quatre points imaginaires, les trois pôles sont encore réels, car deux des sécantes sont réelles, et les autres étant imaginaires conjuguées ont leurs points d'intersection réels; mais si les courbes n'ont que deux points d'intersection réels, il n'y a qu'un pôle double réel.

Tlftéorènîe VD.