Les quatre tëngentes communes à deux coniques forment

unquadrilatère complet dont les trois diagonales sont les polaires doubles.

Soient acy bd deux tangentes communes (fig. 24) ; a, c, 6, d, leurs points de contact ; m le point de rencontre des droites ab^cd. Le point m a pour polaire, par rapport aux droites ac, 6d, et par conséquent, par rapport aux deux coniques, une droite qui passe par le ^«* **• point d'intersection i des

tangentes ac^ bd. Ce point m est donc un pôle double et

se trouve à Fintersection des sécantes communes g et r. On verrait de la même façon que les droites ef^ gA, menées par les points de contact des tangentes communes «g, fh^ ont pour point d'intersection un pôle double, dont la polaire passe par le point fc, et qui n'est autre que le point m. Donc la polaire double du pôle double m passe par les points t et ft ; donc la diagonale tfc, qui est l'une quelconque des trois diagonales du quadrilatère formé par les tangentes communes, est une polaire double,

TKéorème TIII.

^ hh. — Soient une conique et un point fixe p, on peut toujours^ et S une infinité de manières^ mener par le point p deux droites telles que le pôle de chacune d'elles soit sur Vautre.

En effet, menons par le point p (fig. 2 5) une droite quelconque qui coupe en a la polaire P du point p. Le pôle de cette droite pa est sur la droite P (39) , au point a' conjugué harmonique de a par rapport aux points b et c. La droite pa' a de même son pôle sur P, au point a con- Fig. 25. jugué harmonique de a' par rapport

aux points 5 et c ; donc chacune des droites pa, pa\ a son pôle sur l'autre. Gomine la droite pa est arbitraire, il y a une infinité de couples de droites remplissant la même condition; et comme les droites pa, pa' de l'une quelconque de ces couples sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes p6, pc, toutes ces droites forment, autour du point p, un faisceau en involution, dont les droites doubles sont les deux tangentes pp^ pc menées à la conique par le point p (n° 28).

uvn u — GBAP. n.

méorème ÏÏJk^

AS. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui de leurs quatre polaires.

En effet, joignons ces quatre points situés sur une même droite au pôle de cette droite : leurs quatre polaires passent par ce |)ôle et sont les conjuguées, dans un système en involution, des quatre droites précédemment menées (n'44)- Elles ont donc même rapport anharmonique que ces quatre droites ou que le système des quatre points en ligne droite.

TKé#rème TL.

40« «"^ £tafU donnés une conique et deum points fixes^ le rapport des distances dé ee$ deux points à une droite quelconque est proportionnel au rapport des distances du pôle de cette droite à deux droites fixes^ qui sont les polaires des deux points fixes.

Soient a et 6 (fig. s 6) les deux points fixes, M un^ <iroite

quelconque ; m le pôle de la droite M; p le pôle de la droite ab ou P; A et B V les polaires des points a et 6 ; a' et 6' les points où A et B coupent P; enfin c le point où M coupe P. Le rapport des distances du point m aux droites A et B

est égal à -, — )^'{ , et celui des distances des points a^et b sm (B,C)

ac à la droite M est égal à — . Or, sur la droite P, les points a

et a\ b et b\ c et c' forment (n" 44) un système en involution. Dans ce systèmes considérons les points a, &,c, oo; ils ont pour

Fig. 26.

mais

dpoc

THÉORIE DES MlES ET DES POUIRES. AS

conjagoés les points a\ b\ ff, t, ce dernier étant le milieu de la corde ef^ et Ton a

ac ^ a Qo aV . c(i

ou

aç cld ^ a'i ^

dé di ^ sia(A,C) sin (a/i) 6V = 6ï-8io(B,C)''gi„(B,i)'

a(?__ wp(A,C) Mtt(B,i) ^ »«>(B.C)^rin(AJ)*

On voit pw là que le rapport ^ est égil ah r«|^« °I° L* |

OC sm ^iSfLi)

multipUé par un facteur constant ^^^.