GÉNÉRALISATION DES COORDONNÉES TANGENTIELLES

67. — » On peut généraliser les coordonnées tangentielles de la même manière que les coordonnées rectilignes ; car si l'on prend trois points fixes A, B, G (fig. 34) i ces points seront représentés, en coordonnées tangentielles, par trois équations du premier degré en p et j, savoir a=:o, p=o, y=?o; si l'on joint ces points

deux à deux par des droites, l'équation a =aY représentera un point quelconque D de la droite AG, Inéquation

— ^ P = 6y un point quelconque E de la

Fjg- 34. droite BG» et œs deux équations, prises

ensemble, représentent la droite DE, dont les coefficients a et h potittônt èit*e régardés comme les coordonnées.

D'après cela, si f{p^q)=o est l'équation d'une courbe en coordonnées tangentielles, en y remplaçant p et g par leurs valeurs tirées des équations P^^^ay^ P===6y» w aura une équation de la forme f (a,6) = o, ou bien, en employant trois coordonnées, ç(a,p,Y) = o , et les premiers membres de ces nouvelles équations seront chacune, par rapport aux variables, du même degré que f{p,q) = o.

DES tiOOKDOimÉttfi. 5tt

es. ^^ Geë nouvelles eoof données tângentieQed sônt stiseep*tibled d'une interprétation géométrique fiimple. Considérons, en eflet, la droite quelconque représentée, en coordonnées rectiilignes, par l'équation p^ + ^y^^i ^o* ^^ appelons 8 la distance de cette droite au point A , dont les coordonnées sont x^^y^ \ nous Avons

ce qui revint k

\fF+V*

si nous attribuons, dans a, aux variables p et 9, led valeurs des coordonnées tangentielles de la droite donnée.

Nous trouverons de même, en appelant 8^ , \ les distances des points 6 et c à cette droite

Gela prouve que les quantités «i p, y» lorsqu'on y donne, aux variables p et 9, les valeurs des coordonnées d'une môme droite, sont proportionnelles aux distances des points A, B9 C à cette droite, et, par conséquent, puisque

que l'on a

Ainsi, lorsqu'on donne, pour définir une droite, les deux coordonnées a et 6, on ne fait autre chose que donner le rapport des distances de cette droite aux points A et G et le rapport des distances de cette même droite aux points B et G. Si Ton donne les

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trois coordonnées a, ^, y, on fait connaître les distances mêmes de cette droite à ces trois points, ou, du moins, des quantités proportionnelles à ces distances.

69. — Les remarques que nous venons de fsdre sur la signi* fication géométrique des coordonnées a et 6 permettent de démontrer facilement le théorème sur les transversales dont nous avons déjà donné une démonstration (n* 32).

Soient, en effet, a et 6 les coordonnées de la sécante quel* c^ conque DEF (fig. 35); 8, 8,, 8, les dis-

tances des points A, B, G à cette sécante. Nous avons (n« 68)

Fig. 35.