Par cinq points donnés réels ou imaginaires^ on peut
toujours faire passer une section conique, et Ton n'en peut faite
passer qu*une.
Considérons quatre points, a, 6, c, d (fig. 36) et joignons-les
àmok ^ deux par le» droites 0b, &«« fdy âa âois^
^c nous représenterons les équations par « $:» ^«
•y = o, p = o, 8 = o en posant pour abréger
5s=ma + np — f. L' équation générale des
P courbes du second degré, en prenant pour
nouvelles coordonnées a, p, y, est
{t) A«»4- kV + AV+ «Spr + ^^T* + sr^ = 0.
Détemdncnâr k» e(ieficienfl»€gQf espmiiant que la eourbe {Hase par les quatre points a, 6, c, d. La courbe passant par le point 6, son équation doit être satisfaite quand on y fait a = o, y = o^ donc A' = o. De même, la courbe passant par le point c, son équation doit être satisfaite par y = o, p = o, et par conséquent A = 0. Exprimons de même que la courbe passe par les deux autres points d et a, ou que son équation est satisfaite
PROPRIÉTÉS G&HÉBAUS DBS SieTlOIIS GOMQUKS. M
par P=o, S=o, ou ce qui revient au même, par P=o, Y=ma+np, etpar a=so, YasBimt+ftP» >1 vient
A"m-f2B' = o, A'n-l-aBss:©;
cl'où
De là r^ulte que l'équation de la courbe cherchée est A V — A"npT — A*mY<t + SBTdp = o, M ce <p£i revient an mtaie^
îiB"ap -f A^T (t — ma — np) = o.
L'équation de la ccHiique passant par les quatre points a, 6, c, d peut donc s'écrire simplement sous la forme
(i) «P — Ay8 = o.
On toit immédiatement qu*îl suffît dfe se donner utf dtrqfiîème point pour déterminer complètement l'équation. Soient en effet a', p', y' ses coordonnées et 8* ce que devient 8 lorsqu'on y substitue les coordonnées de ce point; on doit avoir
te qui fournit potÉT k tttïe fnkùt finie et détermhiée â moins qn% ce cinquième poiîrt iie se trouve sur une des droites de i± ô, p i= o, Y = o, 5 = o. La courbe se réduit dans ce cas à deux droîUeir.
rème suivant :
6i LIVRE I. — CHAP. IV.
Théorème II.
Un quadrilatère étant inscrit à une conique^ le produit des distances de chaque point de la coniqw à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du mime point aux deux autres côtés, dans un rapport constant.
Réciproquement, le lieu des points d'un plan, tels que le produit de leurs distances à deux côtés opposés d'un qv^idrilatère, soit au produit des distances aux deux autres côtés dans un rapport constant, est une conique circonscrite au quadrilatère.
Cela résulte immédiatemezit de ce que le lieu défini par l'énoncé a pour équation
-| = A ou ap — *y8 = o;
On pourra d'ailleurs en faisant varier le rapport k obtenir toutes les coniques circonscrites au quadrilatère. Ces théorèmes ont pour corrélatifs les théorèmes suivants :
. Théorème m.
73. — Cinq tangentes déterminent une conique et rien dèter^ minent qu'une.
En efiFet, soient construits les pôles des cinq droites; par ces cinq points on pourra faire passer une conique S' et on n'en pourra faire passer qu'une. La courbe polaire réciproque de S' sera une conique S tangente aux cinq droites, et il est évident qu'il ,n'y a qu'une solution, la courbe S' n'ayant qu'une polaire réciproque.
Cherchons en coordonnées tangentielles l'équation d'une conique tangente à quatre droites.
Soient
les équations en coordonnées tangentielles des quatre sommets du quadrilatère formé par ces droites. L'équation cherchée est :
En effet, en coordonnées ordinaires cette équation représente toutes les coniques circonscrites au quadrilatère formé par les quatre droites a, p, y» 5. Or ces quatre droites sont les polaires des points que les mêmes équations représentent en coordonnées tangentielles. Donc Féquation (2) en coordonnées tangentielles représente toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère proposé. On pourra d'ailleurs en faisant varier k obtenir toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère donné.
7&. — Les quantités a, p, y*^ sont proportionnelles aux distances d'une droite arbitraire aux quatre sonmiets du quadrilatère; on a donc ce théorème :
Théorème W.
Un qiAodrilcUère étant circonscrit à une conique^ le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est au produit des distances des deua a^^res sommets à la même tangente dans un rapport constant.
La réciproque est vraie et peut s'énoncer ainsi : Lorsqu'une droite se meut de telle sorte que le produit de ses distances à deux sommets opposés d'un quadrilatère^ demeure dans un rapport constant avec le produit de ses dislances aux deux autres sommets^ cette droite enveloppe une conique inscrite dans le quadrilatère donné.
Tliéorème V.
76. — Si ton joint un point quelconque d'une conique à quatre points fixes pris sur cette conique^ le rapport anharmonique du faisceau est constant.
m^ï ai bi e, d léd qtiàtHs points fit^ (^ S;) |
j les équations des droites a6, cd, bc, ad ; réqua- '^^ tien de la conique est :
Fig. 87.
ap — *t8 = o.
PféH8a§ iln pHt qiiëlbbilc[iie m §uf cette pdili^be et Jdigiicrfis- 16 Srtli qtîàti*e aiitré^ pâf- leà droites m(t, «ife, mt, feiil. Êhêxpfl^ fiâili; de dëui diaiilèi^és là surface dés ti^àfiglëâ ^b^,m6ë, MA, maài nous arrif ctiiâ âtii ègàlitëà :
cd X P = f»i.dmsin(cmd) cfa X 5 = (/m.amsin(dmâ).
Tirons de là les valeurs de a, p, y> S, et portons-les dans TéquatHto de Is coniq«e$ il it&A :
$jn(amj!) , (gimcyié) ^ j^ ^ . £^ .
sin (amc{) * (sin cmcf) ad * cd'
ce qui démontre là pFôpoâitiëil.
Tliéorème corrélAtif.
Une conique étant inscrite dans un ^utxdriîdièH] Wiè taHgéii^ quelconque est coupée par les côtés du quadrilatère de telle sorte que le rapport anAarmomfuê iftSffMfM W intersection est constant.
Pour démontrer ce théorème il sufiit de transformer le précédent par les polftsrës réeiptoques: En efibt) aai ^t&tre peints fiies cérrespondent quatre tangentes ûxts de la eoniffué pdlâite réciproque, au point mobile m correspond vxfb tangents qnel-
PROPRIÉTÉS GÈJîÉriALfeS DES SEbftOJiS CONIQUES. 67
conque à cette conique, et enfin au faisceau ma^ m6, me, md correspond le système aëstfttat!^ J)Oi!!tS tf IHtêflèction de cette tangente variable avec les quatre tangentes fixes. Il résulte du tli8êfêttié pi*étédënt qdê lëUf rapport ànfeàfmonique est cônstàftt.
Théorème ^¥1%
7€ti Àniour de ieuée pmnuflâ^ fi&^fmrl^t fiiûx faùceaux ho^ nwgriphiiinen : lé li'eudk$ inteflsMU^fSiis ttVltéi correspondantes esî unt eèniqn^ fut pasH pttr tei fie^d! p^iûlè ftëès.
0h dil que deux faiscBatti tte art5lt«S sttè HomogràpHiques, quafad le rapport aiihârmiotiiqiHSi dé t^ùûité dMtfeé de Taa dëis faisceaux, est égal au rappoit ïll!llàtiliéiii(}Hë d^ ^mWé Sfëitt^ cerre8j[>ondsbités dans l'atiti^.
Les intérsectiofts n^h\ t de trois totiptes de &:oim HOUtogHl^ piiiques; et les detts points fixes b,»' (flg. 98) détérdlltiëlil tihë ^\y coniqBfe; Deax dtbiteâ hbmoèrapMqfafeS
^/\ ^\/^ quelconques se couperont sur cette tëftis/ v^W^L'- que en vertu du théorème V. Ainsi par y^^^^lJ èxfeihpîê, â la droite dd du système o' cor-
^^1^ ----:>^ respondra la droite od du système o, Kig. 38. t)arté qUë lé rapJDdrt àrihafitidniquè des
dëtii fài^eatii de qtlati-e di-oiies est le thëme.
Il f éstdte de là qùë la tàhgfeiite en d à la conique est la droite dti faiscéâii d q[ili cbri espotid à la droite od du faisceau o', et de rilêmfe que là taiigënlë en b est là droite du système d qui correspond à od dans le système d.
SilS drbitë od Se correspond â elle-même dans les deux systèniés, elle fait partie du lied, et par feonséquent les points a, 6, c, d «ont efi lighë drbltè; bH pêdt ëîioiicer ainsi ce résultat :
CoROLiAifeE; — ^Lbrsijuë danè deiix faisceaux de droites homoétàflhHJtiës il existe iiri'ë drbilé qiil se côrrèspbfad â ëlle-méiiiè, les ^(îhitâ tf IHtetsefctibn dëè drbltes corrês()bndàiîtëà des deux faiséêSfctx SSîit sUFiiriê Mile lî^tie di'ôité :
Théorème corrélatif.
5t sur deux droites on a deux systèmes de points komographiques^ la droite mobile qui joint deux à deux les points correspondants enveloppe une conique tangente aux deux droites.
Ce théorème se démontre en transformant le précédent par
les polaires réciproques, et Ton voit que si 5 a et 5 a' (fig. 69)
/ sont les droites fixes, pour avoir les points a et a'
y* où elles touchent la courbe G, il faut prendre sur
^ S — chaque droite le point correspondant de 5 con-
*ig- 39. sidéré comme faisant partie deîautre. Si le point 5 se correspond à lui-même, le lieu se réduit à un point. On a donc ce corollaire corrélatif du précédent :
Corollaire. — Lorsque le point de rencontre de deux droites siu- lesquelles se trouvent deux divisions homographiques se correspond à lui-même sur les deux droites, les sécantes qui joignent deux à deux les points correspondants passent par un même point.
Théorènte TH.
