Deux angles de grandeur constante tournant autour de

leurs sommets^ si l* intersection de deux côtés reste sur une même

J^^ droite, le point d'intersection des

^yi deux autres côtés décrit une conique

I qui passe par les deux sommets

fixes.

En effet, les deux faisceaux de droites o»i, o'm (fig. 4o) sont évi-

demment homographiques, et il [en

^^^ 40. résulte que les droites om\ dw! qui

forment avec elles des angles constants a et p sont également homographiques. Donc le lieu du point m' est une conique passant par les deux points et 0' en vertu du théorème précédent.

Il est facile de construire les tangentes en o et o'. En effet, la tangente en o' est la droite correspondante de oo' dans le système ontl\ menons donc en o la droite om^ faisant avec oo! un angle égal à a, puis joignons dm^ et enfin faisons en o' Fangle m,o'T'=p: o'T' est la tangente cherchée. On construirait de même la tangente en o.

A ce théorème se rattache le suivant :

Théorème Tin.

78. — SU ^w les deux côtés d'un angle^ à partir du point où chacun est rencontré par une série de sécantes issues d'un point fixe^ on prend des longueurs constantes^ les cordes qui joignent les points ainsi déterminés enveloppent une conique tangente aux deux côtés de V angle.

Soient o le point fixe, A et B les deux droites fixes, oab la sécante variable, m et m' des points tels que les distances am et 6m' soient égales aux longueurs constantes données (fig. 4 1 ) . Les points a et 6 forment évidemment deux systèmes de divisions homographi- ^V\ ques, et par suite il en est de même des Fig. 41. points m et m'. Donc, d'après le théorème

corrélatif du théorème VI, la droite mm' enveloppe une conique.

Théorème IX..

79. — Les n côtés d'un polygone tournent autour de n points fixes^ tandis que n — i sommets décrivent des droites fixes: le n* sommst décrit une conique.

Soient o^^ o^^ o^ On les n points fixes, A^ A, A^^, les

droites fixes, a^ le sommet libre (fig. 42).

Les sommets a^ et a, forment sur A^ et A, deux séries de points

70 H^W I- TTT fiWP. lY,

I^^^RQBT^îQH^»^ ^^ {»lm? Si e^ 01 ^^ 4t M As« dm^^ points

ft^ eit ^^ forment dea syatèpes I)QniQgFiipHl^as. ^n continuant * ainsi, m, $m?iYe 4 voii^ que les points fi, pt 1»^., pœit bMnograr:

phiques, et par- suite que \m ôroi- \^s flf^j (In, Pi (?« 3pnt ^loinographiques, donc leur intersection a^ décrit une conique passant par les Fig. «. points 0, et On.

Théorème corrélatif.

dt« gwe n — 1 côtés tournent autour de n-^.\ fiQit{\s fyfe^: (^

n* cô^é envelçfpm ^f^e conique.

Pour démon{;rer ce théorè]i}e^ il suffit de transfonper la figure

gije ijous yenpns de considérer, par les polaires réciproques;

cçtte tr^nsfpnn^tion njontre en mêmp temps que la conique est

tangente aux deux droites fixes sur lesquelles glissent les extré-

n^ifés de la df oite gui pnyçloppe }a conique. {^a démonj§tration que nous avoiis donnée du théorème direct

s'applique évidemment au cas du triangle. Paps ce cas on peut immédiatement trouver trois autres points de la conique. En effet, la droite a,a, (fig. ^i) peut occuper les trois positions : ofi^^ 0^0^^ ao^ et Ton reconpaît i^nméfli^tenient; qup }e^ positions pqrr^Sfpon4^ntea 4^ <î, ?Qpt : ^, c, q, Fig. 43. Donc la conique ^Pit pa§8pf par ces

tf^s points, e$ cpminp elle p^sse en outre par o^ et o, gljp est

complètement déterminée.

PROPRIÉTÉS GtVÉllAHîlS DES SEfi^aVS CONIQUES. ïi

80. — Les ipois eètis â-un tpiangk tournent autour de trois points ptes^ tandis que deux sommets se meuvent mr deux eo" niques passant chacune par deux des points fixes : le troisième sommet décrit une conique passant par les deux points autour desquels tournent Us côtés dont ee sommet est ^intersection. Gela résulte immédiatement de ce que les droites a^m^ , a^m^ (fig. 44) forment deux faisceaux homog^i^bîqu0&9 car chacun de ces faisceaux est homographique avec le faispeay (|es drojteg fjjj m,| Çloçp, en v^u dij théprèipp yi, ]e JlfH ^ij B#^ji%ç|t «figçpniquep4ssantp^lçs.4e»x pqiBt?

Qe dj^prème géfi^ralig^ ^m\m m^\ • Vlftéorème 1U.

82. —^ Les n côtés d'\^n polygone tournerU autour de n points fixes ^ tandis que n — i sommets glissent surn — i com^ufs, la conique sur laqvslîe glisse chaque sommet étant assujettie à passer par les deux points autour desquels tournent les côtés dont ce sommet est le point d'intersection : le n* sommet décrit une conique passant par les deux pivots des côtés dont il est V intersection.

En eflfet, en procédant de proche en proche, on reconnaît facilement que les deux côtés qui déterminent le sommet libre font partie de deux faisceaux homographiques.

La transformation paf les polaires réciproques cpnduit au théorème corrélatif suivant, qu'il suffira d'énoncer.

72 UVBE I. — CHAP. IV.

^ Théorème corpélAtlf.

Les n sommets d'un polygone glissent sur n droites fiâoes^ tandis que n — i côtés roulent surn — i coniques^ chaque co^ nique étant tangente aux deux droites fixes sur lesquelles glis^ sent les extrémités du côté qui roule sur cette conique : le n* côté enveloppe une conique tangente aux deux droites sur lesquelles glissent les extrémités de ce côté.

Théorème XD.

82. — Si trois coniques ont deux points communs, les trois droites 'qui joignent les autres points d'intersection des courbes deux à deux passent par un même point.

Soit S=o l'équation de Tune des sections coniques, a=o l'équation de la droite qui passe par les deux points communs, les équations des deux autres sections coniques seront de la forme S — fcap=o, S — k'aY = o. Les trois droites qui passent par les deux autres points d'intersection des courbes considérées deux à deux sont donc p=o, y=o, kp — k'Y = o, et on voit que la troisième' passe par le point d'intersection des deux premières.

Théorème corrélatif.

Si trois coniques ont deux tangentes communes^ les trois points d^ intersection des autres tangentes communes aux courbes deux à deux sont en ligne droite.

Le théorème XII fournit une démonstration élégante et simple du théorème important connu sous le nom de Théorème de Pascal^ et qui s'énonce delà manière suivante.

PROPRIÉTÉS GËeiÉRALES DES SECTIONS CONIQUES. 73

Théerème XMSM.

83. — Les points de rencontre des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique sont en ligne droite. Soient m et n les points de rencontre des côtés opposéÈi ab et

de, af et cd (fig. 45). Je dis que la droite mn concourt au point de rencontre des deux autres côtés opposés hc et ef.

Considérons, en effet, les deux systèmes de droites ab et cd, af et de, comme deux coniques ; on reconnaît immédiatement qu'elles ont entre elles et avec la conique proposée la corde commune ad; donc les trois autres cordes coucourent au même point. Or ces cordes sont mn^ be et /e, ce qui démontre la proposition.

Rien dans notre démonstration ne suppose que les six points abcdef forment sur la conique un hexagone convexe, et le théorème s'énonce plus généralement en disant :

Six points étant pris à volonté sur une conique , si , partant de l'un d'eux, on passe par tous Jes autres avant de revenir au point de départ, et qu'on numérote les côtés dans Tordre dans lequel on les a obtenus , les trois points d'intersection des couples de côtés opposés (i , 4) (a, 5) (5, 6) sont en ligne droite.

Le corrélatif de ce théorème, célèbre sous le nom de Théorème de Brianchon^ est le suivant :

Théorème eorrélatlf.

Les trais diagonales qui joignent deux à deux les sommets ap-

po$é$ d'un hexagone circonscrit à une conique passent par un même point.

Ce théorème a toute la généralité du précédent, c*est-àr^re que l'hexagone peut ne pas être convexe.

84. — Du théorème de Pasca^l et de celui de P^^^^ft^P <^R 46- ^Wt PlH§iÇW8 ÇÇr^llftirps lînportants :

Corollaires. Lorsque deux sommets consécutifs de l'hexagone inscrit se confondent, le côté intermédiaire devient une tangente à la courbe; ainsi, un pentagone, un quadrilatère, un triangle inscrits dans une conique, jouissent de propriétés qu'on déduit de celles de l'hexagone inscrit, en complétant le nombre des côtés par des tangentes aux sommets.

En même temps que deux sommets de l'hexagone circonscrit se confondent, les deux côtés correspondants de l'hexagone circonscrit se placent en ligne droite, et le sommet intermédiaire devient le point de contact du côté double ; ainsi , un pentagone, un quadrilatère, un triangle circonscrits à une conique jouissent de propriétés qu'on déduit de celles de l'hexagone circonscrit , en complétant le nombre des sommets par des points de contact.

Nous allons énoncer ces propriétés.

Pentagone inscrit. — Un pentagone é|fmt ipscrit dans uae coniqu^, désignqnssescûtésfionsécutifepaplesnumérûs i ,s,3,4,5: le point de concours des côtés i et 4» celui cjes cOtés 2 et 5, et celui de la tang^te au sommet (i,S) avep le côté 3, sont eq ligne droite.

Cette remarque permet, étant donnés cinq points d'aune co-r nique, de construire les tangentes à la conique en ces points. On peut en effet compléter l'hexagone successivement par chacune des cinq tangentes.

Pentagone circonscrit. — Désignons par les numéros 1,2, 3,4,5 les sommets d'un pentagone circonscrit à une conique. Les dçpitpg gw jeîgnent Igs ^ppiflpte | et^^^p^S, et le ppiiit de

PROPRIÉTÉS G|fIÉ|l4U$ DES BE(;f(Q|rS CONIQUES. fÇ

•çoptaôt 4u ç(^ iu^) *vpç le mm^ 5, se mvm^ mw «êpe

point.

Il résulte de là gu' étant données cinq tangentes à une cpnîgjie, op pourra trçuver leurs points de contact.

Quadrilatère inscrit. — Si Ton suppose que deux fif^tés d^un hexagone insorit se réduisent à zéro, on aura uq guadcilatère inscrit, et les tangentes m deux sommets. Ges sommets peuvent d^aiUeurs être adjacents ou apposés.

Dans le pi>emier cas, on a 1q théoréine sui^nt :

Si par deux sommets adjacents d'un quadrilatère inscrit dans yne conique, on mène des tangentes à cette courbe, les points de concours de chacune de ces tangentes avec le c6té adjacent au commet par lequel passe l^autre tangente, et le point de concours des deux autres côtés, sont trois points en ligne droite.

Dans le second cas, on a l'énoncé suivant :

Dans tout quadrilatère inscrit à une conique, les points de concours des côtés opposés, et celui des tangentes menées par deux sommets opposées sont en ligne droite. Cet énoncé définit quatre points qui sont en ligne droite.

Quadrilatère aRCONSCRiT. -^ Voiei, relativement au quadrilatère circonscrit, les deux théorèmes corrélatifs des précédents :

1* Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, les droites qui joignent deux sommets opposés aux points de contact des tangentes issues de Tun des deux autres sommets, se coupent sur la diagonale qui joint les deux autres sommets opposés ;

2*» Dans tout quadrilatère circonscrit, les deux diagonales et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés se coupent au même point.

duisp h un îfiangle, pp-r réY^flo^^js^fini^t de tfpi§ pôt§s Rqg c^séçutif^. l^g Mox^^ (^e P^gl sç m^¥. àe Ift W^^Jl^ M-

Les points de rencontre des côtés d'un triangle inscrit avec les tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite.

Triangle circonscrit. — Dans tout triangle circonscrit, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés passât par un même point.

Comme application de ces deux derniers théorèmes, nous signalerons la détermination de la tangente en un point quelconque de la conique du théorème YI, et celle du point de contact d'une tangente quelconque à la conique du théorème corrélatif.

Enfin nous ajouterons qu'une conique étant donnée par cinq points ou par cinq tangentes, le théorème de Pascal et celui de Brianchon permettent évidemment de résoudre ces deux problèmes : construire un sixième point quelconque et la tangente en ce point; construire une sixième tangente quelconque et son point de contact. Il est d'ailleurs aisé d'obtenir les éléments de la courbe. (Voyez les leçons de géométrie analytique, n*286.)

Nous donnerons encore le théorème suivant, comme complément de celui de Pascal.

Tlftéerème XFT.

85. — Étant donné un hexagone inscrit dans une section conique^ on prend les points d'intersection des côtés opposés, puis les points ff intersection des trois diagonales avec les deux côtés opposés : les neuf points ainsi obtenus sont situés sur trois droites passant par un même point.

La première partie du théorème résulte immédiatement de l'hexagone de Pascal. En effet, outre l'hexagone a6cd«/ (fig. 46), dont les points de concours des côtés opposés forment un premier système de points en ligne droite, on peut former deux hexagones où les trois diagonales du premier entrent comme côtés, et les côtés de l'hexagone donné successivement comme

côtés opposés par rapport à ces diagonales : ce sont les deux

Fig. 46.

hexagones adcfeba et adebefa. Les trois droites qui doivent concourir en un même point sont donc AB, A'B', A"B". Soient a = o, P = 0, Y = 0, y' = *d+ P + <? Y = ^» ^^ équations respectives des droites a6,cd, adj be. L'équation delà conique est

Les droites de et af , qui passent respectivement par les pointe d et a» ont pour équations np — Y=^> ^^ — Y==^*

Pour avoir l'équation de la droite 6e, cherchons les coordonnées du point où de rencontre la conique. A cet effet, rempla^ çons Y par n^ dans l'équation de la conique : il vient a — n^= o, équation d'ime droite qui, passant par les pointe b et e, n'est autre que be. On trouve de même, pour l'équation de la droite /c, P — mY'=o. Cela posé, nous avons les coordonnées des pointe A, A', A", R, R', R", que nous écrivons dans le tableau suivant :

I ma — y = o « — ny' = o

7Ô Urkè 1. — fcaAl»: !v.

\ y = \ a — nx =.0

Les équations des droites AB, A'B', Â^^B" sont par suite

ma -[- wp — Y = ^ fwa + np -i- rrmi['=s: o Y — fntif == d

Ces trois droites passent par un même point, puisque l'équation de la troisièïiie résulte des deux autres combinées par soustraction.

Tlftéorème cerrélatif,

Étant donné un hexctgone circonscrit à une coniqu>e^ on joint par deê irrites hs sofnfi/iet» opposés^ puU chaque shmmet au point de conc^ur^ Éeà Aimx tètè9 adjacents à eeuw qui passent par ce swnmet t les neuf droites ainsi obtenues passent trois à trois paf trois points # qui sûnt sur tme mime dni>iiei

Tii46i »r ème IkY*

m: — dtt mfiHi lim mtim n mw è^ m \um^^; ài^

côtés d'un triUn0mMhli tàufnM iOxiduf i\i UèM jpômtô fixh,

Uwiik ^ixé dèûôi sà\nrAets ^lisètM sûr iéi Ûkû'à kn-

paikltii'imiêciitèiûitêi

tdlHt VèsiÉ tàfiyeHt â U m nique: k Oèu dicf-Vt 'p'ॠte j^oièiè^ Èoihifiét est une ëSHtqué^âsîani pUrleêdhië points fixesi

Soient a et 6 les points fixes^ € et 8 lès sommets ï'ig. *7 qui décrivent les tangentes

oa, op; m le point décriVaût (fig. 4?)» les systèoies des points c

PROPRIÉTÉS GÊiVÊRALËS DES SElSTiONS CONIQUES. 79

eid sont hdmogrâphiqi^s^ â'à^ë^ le thédtémé èoJtëlfttîf du théorème VI; Donc les fadseëaux des droites am et bm sont homographiques, et lé point m défefit tihe conique passant par les points a et b.

Des positions particulières de la droite cd déterminent d'autres points de la courbe qu'il est bon de remarquer. Lorsque cd se confond avec l'une c'd' des deux tangentes meiiëes par le point a à la courbe donnée, le pôiiil m occixj^è là positioâ â'. Ainsi la coiirbe passé pài^ les poiiits de î^encOiitrë de là cliljtte op et des tangentes menées par le point a à la courbe donnée. Elle passe de même par les points de rencoiitre de la tangente oj. et des tangentes menées pai' le point 6. Enfin, lorsque la droite cd s'applique sur oa, la limite du point c est le point de contact p de oa; celle du point d est îe point o. La courbe passe donc par les points de rencontre des droites ap, ob; et de même par celui des droites 69, oa. Noiilà connaissons ainsâ huit points du lieu.

on donm Une ciÂi^ui ^ àMûo pmk fiéM M altt (mM, deux sommets d'un iriàfigk vàrîàbié glMni sûr àeU£ âfUtiëi fixes^ tandis que deux côtés tournent autour des points fixesy et que le sommet qu'its déterminent décrit la conique. Le troisième côté enveloppe une conique tangente aux deux droites fixBS*

Nous laissons au lecteur le soin de déterminer six autres tangentes, d'après des positions particulières du sommet qui décrit la conique donnée.

GONIQuis PÀSSaSiT par tiuÂTRE POINTS OU TANGENTES A QUATRE DROITES.

87. — Les coniqtus qui passmt par quatre points /KBé* ifeïlf^ rûînêià kitr !)H« Ûmei flitb djéà potiiis ih iHmuHbii:

Soient a, 6, c, d les points fixes (fig. 48), a=o, p=o, y= o, 8=aa+ ftp — Y= ^» ^®* équations des droites 6c, ad, aft, de.

Soit encore

(i) wia+wp— Y = «

Fig. 48.

l'équation de la droite fixe mm'.

L'équation de la conique peut se mettre sous la forme

(a) a^—k^ [aoL + ép — y) = o.

En éUminant y entre les équations (i) et (2), nous obtiendrons une équation du second degré homogène entre <x et p» Elle se décomposera en deux autres

« = *iP, « = *.?•

qui seront celles des deux droites passant par le point d'intersection des droites ad et ftc, et par les points d'intersection de mm' et de la conique. Il reste à faire voir que ces droites sont en involution. Or l'équation du second degré étant

km{a — m}a* -f kn{b — n)p» + = 0,

on en déduit

kk -îîfcllîl m[a — m)

Ce produit étant constant, les droites en question forment involution, et les droites a=o, ^=0, ou ftc, ad^ sont deux droites conjuguées.

L'involution est définie par les données. Car deux côtés opposés du quadrilatère coupent la sécante en deux points conjugués et deux systèmes de deux points conjugués déterminent une involution.

Les deux points doubles de l'involution sont les points de

contact de deux coniques tangentes à la droite mwl^ et passant par les quatre points.

Corollaire. Par quatre points donnés, on peut faire passer deux coniques (réelles ou imaginaires) tangentes à une droite donnée. Les considérations précédentes permettent de construire les points de contact, d'après la théorie de Tinvolution.

Théorème corrélatif.

Les tangentes menées par un point fixe aux coniques tangentes à quatre droites fixes sont en involution.

Les deux droites doubles sont les tangentes à deux coniques passant par le point fixe et tangentes aux quatre droites.

Corollaire. On peut faire passer par un point donné deux coniques tangentes à quatre droites données. La construction résulte de ce qui précède.

Théorème II.

88. — V enveloppe des droites qui sont coupées harmoniquement par deux coniqu£s données est une conique.

Rapportons la figure aux trois côtés du triangle dont les sommets sont les pôles doubles du système des deux coniques. L'équation de Tune des coniques est de la forme

A«« + B?» + Cf + aDpY + aE^a + aFap = o.

Il faut exprimer que chaque sommet du triangle est le pôle du côté opposé. Or la polaire d'un point quelcongue (a',p',y) a pour équation

Les coordonnées du point m où se rencontrent les axes a et ^ sont a' = o , p' = o. La polaire de ce point a donc pour équation

82 UVRE I. — GHAP. IV,

f^ î=î 0. En identifiant cette équation avec y — ô j on obtient

On trbuverait de même F p:: o« L'équation de la conique est donc, sironfttitG£=ii

Aa«+Bp«4-T* = o n

Soit pa + çP — Y = o l'équation de la sécante mobile. Si nous éliminons y \ entre ces deux équations, \y nous obtenons une équation ,\ '^^ homogène du deuxième de- .^ \ gré qui représente les deux droites ma^ md (fig. 49)* Cette équation est

Fig. 49.

(A +/>•)«• + (5+ !?*)?• 4- 2p?ap = o.

On a de même, pour représenter les deux droites m6, mh\ Xkquation analogue

(a) (À' + pV+ (B' + ç*)p*-i- apH = 0,

en observant que Féquatloii de la deutlème cbiiique est

Exprimons que ces droites sont en involution; fc représentant la coordonnée d'une droite^ la condition^ pour que quatre droites soient harmoniques conjuguées, est

ou

2 \kji, + A.ft,) - {K + &,) {^, + A,) = 0.

Noua avttiis à rfethplâcet ici k^ et fti pat lés racines de Fé^juation (ij et fc,; Jt^ par les racines de Féquatiôn (2): SI Tbii fait cette substitùtibil, ce ijtii bst très-simple, t)tiisiJtfori ti'a Beàbih que dfe la sôttilliè et du produit des racinesi il vieilt lidûr éqtiâtloil ëti coôrdonnêfes tadgeôtielles de la cdiirbe chteltliêë

Cette équation étant du second degré, on voit que renvfelttt)pe cherchée est une Conique, et comme elle ne renferme que des termes carrés, chaque côté du triangle mnp est encore la polaire du sommet opposé par rapport à cette conique.

Corollaire. Quand Id droite nlbbilë pê&ké par l'un des points d'intersection des coniques, elle devient tangente en vertu de ce principe qile si, dans un système àe quatre points fbrinaht une proportion liàrmoniciiie, deux points vietinéiit à se corilbndre, il y en a tiëcëssairëment ûil tltjlàièttié qui èè Ctitifbtia avec bë^ aélii; Les tangentes menées aux coniques données par lèë pbintâ d'ititëtsectibtt sont donc des positions particuUèrfeâ de la drbite mbbile. Ces positions sont au nombre de huit, d'où ce théorèhlê :

Si, aux quatre points d'iutersëctibii de dëtii toniqUëëj on mène des tangentes à ces courbeB, bn a huit drditëà qiti àOnt tittigeuteâ & tihë meiue bobiné.

Vhéerème «orrélMIf^

Le iiisu êjsà j^oîntè â*oâ lès tangeht'eé inetiées à dèuk càîfiiiues fixes foii}i)snt uii paiêtehû harmonique est une c^iqûi.

De ^lus; les huit pointa de cbntâct deâ qtiàtrè tàrigèiilës feotiimunes sont sur cette même conlIjUë;

friiéorème IDL

89, — Les polaires à' un point fixe 9 par rapport à toutes les càhiqués menées par quàlre points donnèiSi passèhï par un même point.

8â LIVRE I. — CHAP. IV,

Soient S = o, S' = o, les équations de deux coniques particulières passant par les quatre points. L'équation générale de toutes les autres est S — kS' = o, k étant un paramètre arbitraire. Soient maintenant a = o, a'=o, les polaires du point fixe par rapport aux coniques S et S'. L'équation de la polaire du même point par rapport à la conique S — kS' est a — fc a' = o; et Ton voit que toutes les droites représentées par cette équation passent par le point d'intersection des droites a = o , a' = o.

Si l'on veut construire ce point, on peut prendre pour coniques particulières deux des systèmes de droites passant par les quatre points.

Théorème eorrélatlf.

Les pôles d^une droite fixe par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites fixes sont sur une même droite.

Corollaire. En supposant que la droite s'éloigne à l'infini, on arrive à ce résultat , que :

Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une ligne droite.

On a immédiatement trois points de cette droite en considérant les trois diagonales conmie limites d'ellipses inscrites; les milieux de ces diagonales appartiennent à la droite. Gela démontre incidemment que les milieuix des trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.

Remarque. — Étant donnés un quadrilatère auquel différentes coniques sont circonscrites et le point fixe par rapport auquel on prend les polaires, le point par lequel passent toutes ces polaires est son conjugué réciproque.

nftéorème IV.

dû. — On donne un quadrilatère auquel une série de coniques sont circonscrites et une droite sur laqmlle se meut un point : le

lieu du conjugué réciproque de ce point par rapport à deux quelconques de ces coniques est^ une conique fixe.

Soient a,6,c,d les sommets du quadriktère, M la droite donnée, p un point de cette droite, p' son conjugué (fig. 5o),

Soient S et S' deux des coniques circonscrites au quadrilatère, r et « les pôles de la droite M par rapport à ces coniques.

Les polaires ef du point p par rapport à s forment, lorsque ce point se déplace, un faisceau passant Fig. 5», par le point r et ayant

même rapport anharmonique que le système des positions correspondantes du point p. Il en est de même pour le faisceau des polaires gh par rapport à la conique S', qui toutes passent par le point. Donc ces deux faisceaux sont homographiques. Le lieu du point p' intersection de deux droites correspondantes dans les deux faisceaux est donc ime conique passant par les points r et s. — Il résulte de cette démonstration que tous les points tels que r et « se trouvent sur une même conique, d'où cet autre énoncé du théorème :

Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à toutes les coniques passant par quatre points fixes est une conique.

On a immédiatement trois points de cette conique, en prenant pour trois des coniques deux côtés opposés du quadrilatère, les deux autres côtés et les deux diagonales. Gomme le pôle d'une droite quelconque par rapport à un système de deux droites est l'intersection des deux droites, il en résulte que dans le problème qui nous occupe, quelle que soit la position de la droite M, la conique dont il s'agit passe toujours par trois points fixes qui sont les points d'intersection des côtés opposés du quadrilatère et celui des diagonales.

86 WVUE I. — CÏÏAP, IV.

Théorème corrélatif.

Les polaires d'un poiM fixe par rapport aux coniques inscrites dans un quadrilatère fixe enveloppent une conique.