CONIQUES TANGENTES A DEUX DROITES DONNÉES EN DEUX POINTS DONNÉS

Qi. — r Chercl^oqa réquation d'une conique tangente aux deux droite^ q == et p == 9 aux points où elles sont coupées par la droite y = Q.

^a!C§ ^Vflqs trpuyé pqur l'équation générale des coniques cir- CfiBSPÔ^ k m quadf ^l^t^re

JS^n supposant qup Ips ppinfs d'interspctioq ^p $ ^yec oç et ft ^f^ ri^pprpçbeqt indéfipinRent des pointa çl'ii^tprseçtion de y ayop les iQ$ùnpsi ^çiites, pu Y<ût 9^? 1^ Qoqiqvie ^encl à devenir tangent^ à Qt pt ^ ftW^ pftipt? flp rencontre s^yqç -y, d'aille^r8f 8 tqpd vers y ; dOQP pp p^ksgant j^ 1^ ^mite, V^Quation ^e la cqnique clierf:;b^ e^t

(i) «p — Anr*=o.

En se donnftnt un point de la coyrbe, on détermine la cqnstante k, donc un ppiiit suffit po^r achever de déterminer çe^te comgue.

Bn coordonnées tangentieUes F équation (i)aepçore la mêmes signification; a = o, S=osoiit alors les équations des deux points de contact, y === P ^^^^^ ^^ point de concours des tangentes.

L'équation (i) , en coordonnées homogènes se traduit ainsi :

Tliéfirèiiie I.

JU produit des distances d*un point quelconque d'une conique à

PROPRIÉTÉS GÏNÉRAP9 DES SECTIONS CONIQUES. g7

deux tangentes fixes est proportionnel au carré de la distance du même point à la corde dei ÇQntaçitf

La même équation, en coordonnées tangenlielles, donne l'énoncé suivant,

Théerème eorpélatlf.

Le produit des distances de deux points de contact de deux tangentes fixes à une tangente mobile est proportionnel au carré de la distance du point ^intersection des deux tangentes fixes à la tangente rmUle.

92. — - On, donne une conique et un point p, par ce point on Wkène une sicqnte qui cqupe Iq ccfnique en deux points a ets!. Si Ton prend un point o fixe 5t|f la commue, les droites o^, oa' forment involviion.

Menons par le point p (fig. 5^) les 4^ux tangentes pc et pd. Les quatre droites cp^ ca^ cd et ca^ forment un faisceau harmpnîque; donc il en est de même des quî^trfi droites (^ joignent les points c, a, d, a' au point o, et par conséquent les droite^ oa et oa' forment involu- ^ê- SI. tion.

Les droites doubles sont oc et od.

Théorème eovrélatif .

Êfmt ^ç^néds ^ne çmqm wng droit? /îWi P^T <^MQ^^ poinf ÇÎ6 ]a 4voite on mène des tangptUfs à }a conique : elles dét^Wfnent sur ui^ç tange:n{e fixe de$ points en ir^polifrton.

Les points doubles sont les points d'intersection de la droite

Tliéorcme m.

93. — Étant donnés une conique et un point fixes^ par ce point on mène un système de droites formant involulion; V enveloppe de la droite qui joint les points d'intersection de deux droites con-juguées avec la conique est une coniqu^e.

Soienta = o, p= o les équations des droites doubles ; les équa-

tions de deux droites conjuguées sont cL=z±a^; représentons par a — mp= o , a — np= o , les tangentes réelles ou imaginaires menées à la conique proposée par le point donné p (fig. 62) , et par y = o la Fig. 5t. corde de contact, ou la polaire du

point p. L'équation de laconique est alors

(a — mp) (a — wP) -- frf* = o.

Représentons la droite ba dont nous ciierchons l'enveloppe par

P« + îP + nr = 0.

Pour trouver les points d'intersection de cette droite et de la courbe, nous éliminerons y entre leurs équations ; il vient

r\a — mp)(a — np) — k(p%+q^y = o.

Cette équation homogène en a et p représente les droites pa et pb. Pour exprimer qu'elles forment une involution dont les droites a et p sont les droites doubles, il sufiit d'exprimer que le coefficient du terme en ap est nul. La condition est

Cette équation est celle du lieu en coordonnées tangentielles. On voit que ce lieu est une conique tangente aux droites représentées dans le premier système par les équations a =o,j3 = o, suivantla droite y== o. On connait encore quatre autres tangentes à cette conique : ce sont les tangentes menées à la courbe donnée par les points où elle rencontre les droites doubles.

On peut supposer, dans cette question, que le faisceau de droites en involution est formé par les diamètres conjugués d'une conique, ce qui permet d'énoncer le théorème sous une forme un peu différente.

Tltéorème corrélatif.

Étant donné sur une droite un système de points en involution, on mène par ces points des tangentes à une conique : le lieu des points d'intersection des tangentes correspondant à deux points conjvrgués est une conique.

Cette conique passe par les points doubles d'involution et par les points de contact des tangentes menées des points doubles à la courbe proposée. Enfin elle passe aussi par les points d'intersection des tangentes menées à cette courbe par le centre d'involution avec les tangentes parallèles à la droite donnée. Nous avons ici dix points situés sur une même conique. Il en résulte un théorème qui peut s'énoncer sans qu'on fasse mention de la théorie de Tinvolution, et auquel nous ne nous arrêtons pas.

Tltéorème IV.

94. — Quand deux coniques sont inscrites dans un même anglCf il y a deux sécantes communes qui passent par le point d'intersection des cordes de contact.

En effet, en retranchant membre à membre les équations des deux coniques, mises sous la forme

OQ trowe pour le^ équations dfi deux des sécantes communes

et Ton voit que ces sécantes passent par le point d'întprsection des cordes de conctact y et 8.

Corollaire. On peut établir une corresroondance entre le^

Fig. S3.

Rpiflts dp pl^n pris fjçux à dpu:!f. ^ojent a, p, y les poordo|}pées d'un P#t fl (fîg' S^)- posions

t' T? Ç? =ri rf y /(/ )p '

a' P' ^' gpnt les cqordonnées, relativement aux axes (j, p, 8, j^'un ppjnt a\ Il est sfîsé de voir, en tirant de nos relations les valeurs de a et de p, que si le point a est sur 1^ première courbe, le P(]in|; g' qst sur la seppndq. Gela a lieu quel que soit le signe

donné à. l/ r? . On passe des points de la première courbe à ceux de la seconde par l'une ou Tautre de ces deux transformations.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRAÏ.BS DES SECTiqNS CONIQUES. ^

p^signpnspvQ le'pofflt çle r^nppptre dqçt^gentpsipqflçtipflnes ot et p. ties pqints q^ a! sont sur uqe mêip^ 4^fljte ffl^flé^ p^ le

a B point 0. Cela résulte de la relation -, = -^,. Ainsi menons par le

pqjl^ljjupesécaptequi rencontrejapremière courbeei|aetap la seconde en a' et a\. Au point a correspond le point a' ou le point a\^

suivant le signe qu'on donne i \/p; au point a^ correspondent

respectivemeîit dans les mêmes cas a\ et a\

Par cette transformation, une droite donne une autre droite. Car l'équation

devient

Deux droites correspondantes se coupent sur Tune des droites

c'est-à-dire sur l'une des sécaptqg communes dont on a parlé.

Si donc on mène deux sécantes oûj o6, les cordes 6a, Va' se coupent sur Tune des droites d'inter^ectioii w^ ç|es deux poiiir ques; fljftj, a\b\ se coupent sur la mênae (^roite pin. Mais Igs cordes ab et a\b\ , afi^ et a-b' se çpwpqnt sur l'Wfr? d^g 4eW sécantes communes en question, n*V.

En faisant tendre le point b yersi le point d» on ypit que le même théorème s'étend aux tapgentes ç>îi a, a!, a^, a'^ : elleq doivent se couper sur mn ou sur wV,

ProMème I*

05. Construire une cqnique; doi^ton connaît éieux, tang^^es et iroîs pointsî.

92 LIVRE h — CHAP.

On peut tirer parti de ce corollaire pour construire une conique dont on connaît deux tangentes et trois points oul)ien trois tangentes et deux points.

Soient oa, o^ les deux tangentes, a, 6, c les points donnés (fig. 54) , je décris un cercle quelconque tangent aux deux droites

/ // /Ib' 7^6

Fig. 54.

données. Je mène les droites oa^ 06 , oc qui coupent le cercle en a'\ b'\ c" : les droites ac^ a"c'\ et les droites 6c, b"c" se coupent sur l'une des sécantes communes et la déterminent. On obtient ainsi les deux points p et p' d'intersection du cercle avec la conique cherchée. En considérant les autres points d'intersection a', 6', c' des droites oa^ 06, oc avec le cercle, on construit de même la deuxième corde commune, et par suite deux nouveaux points de la courbe cherchée. Ces deux sécantes communes sont réelles, mais les points d'intersection qu'elles joignent peuvent être réels ou imaginaires.

Nous sommes en état maintenant de construire un point quelconque de la courbe et la tangente en ce point. On prend

pour cela un point d" sur le cercle, on mène od": soit d le point où elle rencontre la courbe. Les droites c'^d" et cd coupent pp' au même point.

Pour construire la tangente en d, il suffit d'observer que les tangentes en d et d' coupent pp' au même point.

Le point de contact r de la conique cherchée avec la droite oa se détermine de même par cette considération que les droites menées de deux points correspondants des deux courbes aux points de contact r et r' se coupent sur pp'.

Cherchons maintenant combien le problème admet de solutions. On peut faire correspondre les points a, 6, c soit avec a\ 6', c\ soit avec a!\ V\ c", et il se présente huit combinaisons différentes. Mais ces combinaisons donnent deux à deux la même 'solution. Car si Ton prend, par exemple, la combinaison a'b"c'\ on sera conduit à considérer pour la même solution la combinaison a"6V . En sorte qu'il n'y a en réalité que quatre solutions distinctes.

Théorème corrélutlf.

Lorsque deux coniques ont deux points communs^ les points d* intersection des tangentes menées à chaque conique par ces points , et ceux de deux couples de tangentes communes sont en ligne droite.

Déplus, si par deux points de la sécante commune on mène deux tangentes à Tune des coniques et deux tangentes à l'autre, le point de rencontre des deux premières tangentes et celui des deux autres sont sur une droite qui passe par le point d'intersection de deux tangentes communes.

Comme cas limite, si par un seul point de la sécante commune on mène une tangente à chaque conique, les points de contact sont en ligne droite avec l'un des points de concours des tangentes communes. Cette dernière conséquence a déjà figuré parmi les corollaires du théorème direct.

^h tiVBÈ I. — chA^. iV.

I^i^olilèiiie il.

96: — CohÉituire mé conique dont on connatt trois tangentes et deux points.

Là sblutioti de ce problème se déduit du théorème précédent, fcOmttife cfeUë du pt-bblèmë I se déduit du théorème IV^ Oh décrit tih cercle quelconque passant par les deux points donnés. Puis, d'après le théorème précédent, on construit aisément deux tangentes communes, les points de contact des tangentes données, une tangente quelconque avec son point de contact.

Ce problème, fcohlme le pf écédent, admet quatre solutions.

At^PLiCAtiOl^ BÉâ CONâtRC(:tlONS PÎiÉCilDENtEà A LÀ I^ÂllABÔLte.

97. — Nous satons niaintenant construire une Sectiôil conique déterminée par cinq conditions, quand ces conditions sont des points de la courbe ou des tangentes. Au moyen des polaires réciproques, on pêûl ïiiJnslrUîre ùtië tiàtâtole déterminée par des conditions de ce genre au nombre de quatre. En effet, la pblaii-e réciproque d'iiiie parabole est une conique passant par le centre de la com-be directrice. Ainsi là polaire réciproque de la parabole demandée est déièrmihée par cinq points ou tangentes faciles à construire si l'on prend, par exemple, lin cercle pour cburbè directrice, bn trouvera donc autant dé conditlbiis iioiivéilès qu'on voudra pour cette com'bé polaire rëcîprbqiiè, et on eu déduira aisément les conditions correspondantes pbiir là parabole. Entre autres, on trouvera la direction de l'axe par la considération suivante. Là pblairé rëciprbquë passant par le centre du cercle directeur, menons par ce point ûiië tangente k cette courbe. A cette tangente correspond sur la cbiirbë cherchée iiri point à l'îhfenî dans là direction perpëiidîciiiàîrë. Cette directloti est celle dé Taxé, tjuàrid m là possédé, oh applique, en les simplifiant, les théorèmes de Pascal et de Brianchon et leurs corollaires : la simplification tient à ce qu'on

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SEGTIOrîS CONIQUES. ^5

liëtit, dànâ le feâ^ de là |jlltaJ}Ble, éiipjidser ^Ue Tiiii dëà fcôtës de rhexàgoiië inscrit, bti de l'hexa^tine tircbnècfit, se Itàtisportë I riiifinî; Ôti âùrâ pàf là deë coiistriiclionâ éirtipiés dé la courbe jiar pbiiits.

Tltéorème V*

&8. — i^uanà îeux coniquss ont même foyers si par ce point on mène deux sécantes, et qu*on joigne pair des droites les points où ces detAX sécantes rencontrent chaque courbe^ ces droites se cou-pent sur une sécarUe commune.

Ce théorème est ime conséquence du tliéorème sur les coniques inscrites dans un même angle. En effet, deux coniques ayant un foyer commun peuvent être considérées comme étant toutes deux tangentes à deux droites imaginaires. Les équations de ces coniques sont

a?* + y' = *ïS

On peut les écrire ainsi :

{y + x s/^^) (y — a? v^— 1 ) = *tS (y + x^^) (y — a? v'^) = AS».

On voit que les deux courbes sont tangentes aux droites

y + x^f^ =± 6, p — ùi\^^bi

irespcctivement suivant les droites y = o et S = o, qui sont les directrices.

De même si par ce foyer on mène une sécante « et qu'àtix points où elle rencontre chacune des courbes on mène des tangentes, ces tabgentes se coupent encore par une sécante commune.

96 LIVRE I. — GHAP. IV.

11 faut observer que cette sécante commune peut joindre des points d'intersection réels ou imaginaires des deux courbes.

Remarque. Transformons ce théorème par la méthode des polaires réciproques, en prenant pour courbe directrice un cercle décrit du foyer commun comme centre. Nous arrivons à cet énoncé de géométrie élémentaire. Étant donnés deux cercles, si on leur mène à chacun deux tangentes parallèles à deux directions différentes, les points d'intersection des tangentes menées à chaque cercle sont sur une droite passant par Fun des centres de similitude.

En partant de ce dernier énoncé, et le transformant par la méthode des polaires réciproques, on a du théorème précédent une démonstration affranchie de la considération des imaginaires.