PROPORTION HARMONIQUE

13. — Lorsque l'un des rapports anharmoniques de quatre points en ligne droite est égal à — i , les deux autres sont

égaux à - et à 2 ; les trois inverses sont, égaux aux précédents. Dans ce cas, on dit que les quatre points forment un système harmonique.

Ainsi les quatre points a^b^ e^ d (fig. 5) forment un système

harmonique si l'on a

«... oc od

bc bd

Les deux points c et d sont dits conjugues harmoniques par rapport aux deux points a et 6.

Les deux points c et i diyise^it ^ droite §lf d^9 }^ mèim apport, car on a

ae ad

Tb'^bd'

Ué^ff^oqji^jomt^ lorsque daix points c et d divisent une droite ab dans le même rapport, cas deux ppints sont conjugués harmoniques par rapport aux extrémités a et 6 de cette droite.

Il est évident que si le point d s'éloigne à l'infini, le point c tend vers le milieu o de la droite ab.

là. — La moitié d'une droite est moyenne proportionnelle entre les distances du milieu de cette droite à deux points qui forment avec ses extrémités un système harmonique.

En e0et, de l'égalité

Vb^Td'

on déduit

ac cb ^~bd'

et, pwr suite,

ac + cb ac — cb ad+bd ad — bd'

OU bien

nab 20C ^od" Tùb^

ce qui donne enfin

U^szocXod.

Réciproquement, si deux points»c et d de la droite ab sont tel^ que Ô6* = oc X od , ces points sont conjugués harmoniques

lUpPQlT ÀNHARMOlilQUfi. 16

par rapport aux points a et b. Il suffit, poiu* le démontrer , de reprendre, en ordre inverse, le» égalités qui précèdent.