CORRÉLATION DES FIGURES. ISO
disposer de manière à faire correspondre à un point de la
première conique, une tangente de la seconde ou réciproquement.
Tli^4irème III.
d 41. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite dans Vune des figures est égal au rapport anharmoniqtAedes quatre droites correspondantes de T autre figure.
Considérons dans la première figure quatre points a, 6, c, d
situés sur une droite E. A ces quatre points correspondent dans la seconde figure quatre droites A', B', G', D' passant par un même point e\ Joignons un point arbitraire f aux points a, 6, c, d. Au faisceau des quatre droites fa, fby fcy fd correspondent dans la seconde figure les points a', 6', c', d', où la droite F coupe les droites A', B', G', D'. Nous rapporterons la première figure au triangle fab^ la seconde au triangle e!a'b'.
Les équations des droites du premier faisceau sont :
(oa) a = o, (oc) a — mp = 0, {ob) p = o, (od)a— np=:o.
Fig. 78.
Le rapport anharmonique de ce faisceau est D'après les formules de corrélation
ap' "^ *^ "" r"
les quatre points correspondants a', 6', c\ d' ont poiu* équations
140 LIVRE 11. — CHAP. m.
en coordonnées tangentielles
et par suite le rapport anharmonique de ces quatre points est
. m aussi — .
Problème 1.
1A2. — l'rouver le lieu des points de la première figure tels que les droites corrélatives passent par ces points, ainsi que Venve- • loppe de ces droites.
Cherchons d'abord le lieu du point a par lequel passe sa droite corrélative A'. La droite M devant passer par le point a, on a la relation
Si Ton remplace dans cette équation p\ q\ r' par les quantités proportionnelles (i) , on a l'équation
(5) (ax + by + cz)x + [a^x + 6,y + e,z)y + (a^x + 6^ + Ctz)z = o.
Ainsi, le lieu du point a est une conique S.
Si dans la même relation on remplace a?, y, z par les quantités proportionnelles (2), on a l'équation
(6) (a>' + AY + cy)p^ + (a\p^ + b\(t + (f/)q'
+ [a\p'+b\q'+cyy = o,
qui représente en coordonnées tangentielles la conique S', enveloppe de la droite A'.
143. — Remarque. Cherchons de même le lieu du point a de la seconde figure, par lequel passe sa droite corrélative A.
CORRÉLATION DES FIGURES. Iftl
La droite A passant par le point n\ on a la relation
P^ + îy' •+■ ^^' = 0'
En remplaçant p, 9, r par les quantités proportionnelles (3), on obtient le lieu du point a\
En remplaçant au contraire x\ y\ z! par les quantités proportionnelles (4), on a l'enveloppe de la droite A :
Les équations (7) et (8) étant les mêmes que les équations (5) et (6) , on en conclut que le lieu du point a' est le même que celui du point a, et Tenveloppe de la droite A la même que celle de la droite A'.
lâA. — A un même point a considéré comme appartenant à Tune ou à l'autre figure, correspondent deux droites différentes. Si le point a décrit une même conique dans Tune ou l'autre figure, les droites correspondantes envelopperont, en général, deux coniques différentes. Nous avons vu que le lieu du point par lequel passe la droite correspondante est le même dans les deux figures, ainsi que l'enveloppe de la droite qui passe par le point correspondant. Les deux coniques S et S' ainsi obtenues jouissent de cette propriété remarquable que chacune admet l'autre pour corrélative dans l'une et l'autre figure; c'est pourquoi on les appelle coniqttes doubles. A un point situé sur la conique S correspondent les deux tangentes menées de ce point à la conique S'; de même à une tangente à la conique S' correspondent les deux points où cette tangente coupe la conique S.
11 est facile de voir que les deux coniques doubles S et S' sont doublement tangentes.
En effet, soit a un point commim à ces deux coniques. A ce
1A2 LIVBË II. -> GHAP. Uh
point correspond la tangente *A! à la conique S' dans Tune et g l'autre figure ; mais, en vertu de la réciprocité, au point a de la conique S' correspond la tangente en a à la conique S ; donc ces deux coniques ont même tangente en a. Si 6 est un second point commun, elles ont aussi même tangente B' en 6.
Fig. 79. Les deux points de contact a et 6 sont
des points doubles ; car à chacun d'eux correspond la même droite A' et B' dans les deux figures. Le point de rencontre p des deuj^ tangentes A' et B' est aussi un point double; car à ce point correspond la droite double ab.
145. — Pour qu'à chaque point corresponde une même droite dans les deux figures; il faut, d'après les formules (i) et (3), que Ton ait
Le formule (i) montre que, dans ce cas, la droite A' est la polaire du point par rapport à la conique.
aa?*+ 6iy*+ CjS' + otbxy + v^cxz -[- ac^yz = o.
On retombe ainsi sur la méthode des polaires réciproques. Les deux coniques corrélatives doubles S et S' coïncident avec la conique précédente (*)•
(') Tout ce chapitre est emprunté à Y Aperçu historique de M. Chasies. La corrélation des figures constitue le principe de dualité.
