CHAPITRE I

PJroipriétés générales d<»9 courbes als^1>iriques.

146. — Nombre des points nécessaires à la détermination d*une courbe de degré m. — Considérons une équation algébrique et entière du degré m entre a? et y ; cette équation renferme un terme constant, deux du premier degré, trois du second... et enfin m+i du m* degré; de sorte que le nombre total des termes est

1 + 2 + 3 + — + (''ï + i) ou

Le nombre des paramètres arbitraires, et par conséquent le nombre des points nécessaires à la détermination de la courbe

est donc

ou plus simplement

Par exemple, il faut neuf points pour définir une courbe du troisième degré, quatorze pour définir une courbe du quatrième degré.

Remarque* — Si parmi ces points, il y en a mp + 1 sur une courbe de degré p, le lieu se décompose en deux, l'un du degré p, Fautre du degré m — p; car, la courbe du degré p rencontrant la ligne du degré m en plus de mp points, fait nécessairement partie du lieu, qui se compose ainsi de cette courbe du degré p et par suite d'une autre courbe du degré m — p.

Par exemple, une courbe du troisième degré est définie par neuf points; si parmi ces neufs points il y en a quatre en ligne droite, le lieu se compose de cette ligne droite et de la conique définie par les cinq autres points. De même encore, si sept points d'une courbe du troisième degré sont sur une même conique, le lieu se compose de cette conique et de la droite passant par les deux autres points.

Théorème I.

147. Si parmi les — - — ^t J. points qui définissent une ligne du

degré m, il y en a mp — vP )\P ) ^ ^ sur une courbe du

degré p, ta ligne se déœmpose en deux^ ïune du degré p, et fautre de degré m — p.

En effet, les autres points sont au nombre de

m(m + 5) . fp— i)(p— 2)

— ^ — mp -f- -^ -^ ' — 1

OU

ils définissent donc une courbe du degré m — p, et cette courbe jointe à la ligne de degré p forme le lieu du degré m«