Toutes les courbes du degré m qui passent par
i — !— 2 — 1 p(nnts donnés passent par ^ ^-^ ^ autres
points fixes.
En effet, soient S = o et S' = o les équations de deux courbes
du degré m passant par ^ "^ ^ — 1 points donnés; l'équation
dans laquelle le paramètre k est arbitraire, représentera toutes les courbes du degrémpassant par les points donnés ; car on peut déterminer le paramètre k de manière que la courbe passe par un auti-e point pris à volonté. Toutes ces courbes passent par les m* points d'intersection des deux courbes S et S', et par conséquent par
nr ' h I = ^
autres points fixes.
Ainsi toutes les courbes du troisième degré qui passent par
1A6 LITU m. — CHAP. 1.
huit points donnés, passent par un neuvième point fixe; toutes les courbes du quatrième degré qui passent par treize points donnés, passent par trois autres pmnts fixes, etc.
Remarque. Deux courbes du degré m se coupent «i mf points ; quanod m surpasse deux, on ne peot pas considérer m'
points pris à volonté comme étant les points d'intersection de
deux courbes du degré m ; car on a alors w* > — — ^î^ ; on en
peut prendre ^^ ' ^ — i à volonté; les autres eti résultent,
d'après le théorème précédent.
Tlftéorème ID.
449. — Si parmi les m* poinis d'ifUtrêeelifm de deux courbes du degré m, il y en a mp sur une courbe du degré ^j Us m (m — p) autres sont situés sur une courbe du degré m — p.
En effet, parmi les m{fn — p) points restants prenons-en
\ : P)\ Pi" ; q^ déterminent une courbe du degré m — p.
L'ensemble de cette courbe et de la courbe du degré p forme une ligne du degré m qui passe par
mp
^ («— p)(fl,-p-f3) ^ w(« + S) ^ ^ {p-j){p^9}
pokats communs aux deux courbes de d^é m. Cette ligne a
amsi au moms — ^^ — = — ^ — i pomts communs avec les deux
courbes proposées; donc elle passe par tous leurs points communs, et par conséquent la courbe du degré m — p passe par les autres points communs qui sont au nombre de m{m — p).
PROPRIÉTÉS GltMÉRÀLfiS DES GOURBBS ALGÉBRIQUES. 117
Théorème IV.
150. — Un polygone de 2m côtés étant inscrit dan^ une eonî^, Us m (m — 2) points que Ton obtient en prenant T intersection d*tm côté quelconque d'ordre pair avec les côtés non adjacents tordre impair sont situés sur une courbe de degré m •^2.
Ce théorème est une conséquence du théorème précédent. Les côtés d'ordre pair forment un premier polygone de m côtés; les côtés d'ordre impair un second polygone de m côtés ; parmi les m* points d'intersection de ces deux lignes du degré m, il y a 2m points, c'est-à-dire les sommets du polygone proposé, qui sont situés sur une courbe du second degré; donc les m{m — 2) autres points d'intersection sont situés sur une courbe du degré m — 2.
Le théorème de Pascal est un cas particulier de cette proposition : un hexagone étant inscrit dans une conique^ si l'on prend ïinterseciion de chaque côté avec le càté opposé, on a trois points en Ugne droite.
De même un octogone étant inscrit dans une conique, si Ton prend l'intersection de chaque côté d'ordre pair avec les deux côtés non adjacents d'ordre impair, on a huit points situés sur une courbe du second degré.
DE QUELQUES FORMES DE L'ÉQUATION D'uNE COURBE DU DEGRÉ 771.
151. — L'équation générale des courbes du degré m peut se mettre sous la forme
tt et p étant deux polynômes linéaires, k un paramètre aroitraire, ç et tj^ des polynômes du degré m— i. Il est facile de
448 LIVRE m. — CHAP. t.
s'assurer que le nombre des paramètres surpasse — ^ ,
condition nécessaire pour qu'une courbe donnée de degré m puisse être ramenée à cette forme. En effet, le premier membre renferme
(m — i) (m + ï^) + 5 = wi' + wi 4- 3
paramètres, et l'inégalité
est toujours satisfaite, quel que soit m. Par conséquent l'équation d'une courbe du degré m peut être ramenée à cette forme d'une infinité de maniiires.
Le point d'intersection des droites représentées par les équations a=: 0, ^ = appartient à la courbe, et la tangente en ce point a pour équation
?• 6t ^o étant la valeur des fonctions <p et ^ au point (a=c, P=o). En effet, si l'on ordonne l'équation par rapport à a, p, en posant
? = ?o + ?i + Ts + • - 4' = 4'o + +i + +. + f
cpj et ^^ étant des polynômes homogènes du premier degré en a et p, ç, et t|i, des polynômes homogènes du second degré, etc. , l'équation devient
