PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES ALGÉBRIQUES
et Ton voit que là droite représentée par
est tangente au point (a = o, p == o) .
152, — Dne courbe du degré m peut, dans quelques cas seulement, être représentée aussi par l'équation
«Pï +*«'PY = 0,
a, p, y, . . . . a', p', y' étant des facteurs linéaires en œ et y, et leur nombre dans chaque terme étant égal à m. Le nombre des constantes que renferme le premier membre est égal à 4»w + » ;
ce nombre est plus petit que — — ^t— ^ dès que m surpasse 5.
La courbe passe par les m* points d'intersection des droites (a=o, a'=o) (a=:o, P'=o),
Théorème T,
153. — Théorème. Quand on coupe une courbe du degré m par une droite quelconque et qu'aux m points dHntersection on mène les tangentes à la courbe^ les autres points d'intersection de ces tangentes avec la courbe sont sur une courbe du degré m — 2.
En effet, soit p= o l'équation de la sécante donnée, on peut mettre l'équation de la courbe sous la forme
ttj, a. a^ étant des fonctions linéaires, et <f une fonction du
d^é m — 2. Car cette équation renferme, abstraction faite
150 UVRS IIL — GHAP. I.
dep,
[m — 2 )( m+ i) ^rn'\'^ + m* — m — a m (m + 3)
am-f iH = ^ = -.
constantes arbitraires. Les droites représentées par a^ = o,
ttj = o, «« = sont tangentes à la courbe aux points où
ces droites sont coupées par la droite p = o; les m{m — 2) autres points d'intersection de ces tangentes et de la courbe sont situés sur la courbe ç = o,
16A. Corollaire I. — Les m(m — 3) points où une courbe du degré m est coupée par «es m Q»ymptotee sont situés sur une courbe du dejré in~2.
Car si Ton suppose P constant, la sécante s'éloigne à Tinfiiû, et les tangentes deviennent les asymptotes de la courbe.
155. Corollaire IL — Les points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont trois à trois en ligne droite.
En effet, soient A et B deux points d'inflexion de la courbe
(fig. 80) , la droite AB rencontre la courbe en un troisième point C.
Les tangentes aux points d'inflexion A
et B doivent être considérées comme
ayant trois points communs avec la
courbe. La tangente en C rencontre la
Fifr 80. courbe en un nouveau point situé sur
la droite AB ; ce point coïncide donc avec le point G qui est
aussi un point d'inflexion.
On conclut de là qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir plus de trois points d'inflexion réels, et que la droite qui * joint deux points d^înflexiqn imaginaires conjugués passe par un point d'inflexion réel.
POINTS multiples.
1&6. -"^^ Supposons que l'on transporte Torigine des coordon-
PROPRIÉTÉS GÉlSÊRiU£9 DES GOUiOlES ALGÉBRIQUES. lÔl
nées en un point quelconque M de U courbe ; l'équatiOD dç iz
courbe sera de la forme
u^ ti,... u^ étant des polynômes homogènes du premier, du second, du m* degré en x et y. La tangente au point M est donnée par l'équation u\ = o. Mais si le polynôme u^ est identiquement nul en même temps que te^, une sécante quelconque menée par Torigine a en ce point avec la couAe deux points communs qui se confondent, et l'on dit que le point M est un point double. Les tangentes à la courbe en ce point sont représentées par l'équation Mj= o, qui se décompose en deux autres du premiw degré.
Lorsque les deux racines de l'équation u^ = o sont réelles et inégales, par le point M passent deux branches réelles ayant des tangentes distinctes. Lorsque les racines sont imaginaires, deux branches imaginaires se coupent au point M, qui est un point isolé. Quand les deux racines sont égales, le point M peut être un point isolé ou un point de rebroussement
Si Von a à la fois
le point M est un point triple. Les tangentes en ce point sont représentées par l'équation u^=o.
En général, si Ton a identiquement
le point M est un point multiple d'ordre ft.
Cherchons maintenant à combien de points simples équivaut un point multiple d'un certain ordre. Un point double vaut trois points simples ; car le polynôme u^ renferme deux coeJBScients, Un point triple vaut six ou i -|- 2 + 3 points simples ; en général
152 LITRE IIL — GHAP. I.
un point multiple d'ordre k vaut
points simples. .
Théorème TI.
