L'équation (s) isst de la forme

SAA"aP==o,

les exposants a et p étant entiers. Regardons ft comme un infiniment petit du premier ordre, et désignons par |a Tordre de Finfiniment petit fc Considérons le groupe des termes du degré le moins, élevé; ce premier groupe doit contenir au moins deux termes tels que

Ces deux termes étant de même degré, on a

«+P«=»«i + Pil*,

d'où

Il en résulte que le degré de h par rapport & ft est commensurable.

169, — Voici comment on parvient à formey le premier groupe ; dans un plan, traçons deux axes rectangulaires Ox et Oy (fig. 88) , et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants a et p dans les différents termes, a étant l'abcisse, p Fordonnée. A chaque terme correspond un f point du plan. Gomme le polynôme doit contenir au moins un terme indépendant de A et un indépendant de ft, sans quoi il serait divisible par ft ou par fc, il y aura au moins un point sur

Fig. 88.

168 IIYBE m. — GHAP. U.

l'axe des y et un sur l'axe des x. Nous remarquerons d'abord qu'à des termes de même degré correspondent des points placés en ligne droite; et, en effet, la valeur de [x trouvée précédemment montre que la droite qui joint les points correspondants à deux termes de même degré a une direction constante; cette droite fait avec l'axe des y négatives un angle dont la tangente est égale à [x. Si, par un point quelconque (a,, ^J, on mène une droite parallèle à cette (Erection constante, cette droite ayant pour équation

son abcisse à l'origine a,-|-[jLpj est précisément égale au degré du terme correspondant. Il en résulte que les droites parallèles sur lesquelles sont placés les points qui correspondent aux divers groupes de termes s'éloignent de l'origine à mesure que le degré de ces termes augmente; par conséquent, la ligne qui passe par les points du premier groupe laisse à sa droite tous les autres points.

170. — Que l'on imagine une droite coïncidant d'abord avec l'axe oy et qu'on la fasse tourner autour du premier point situé sur cet axe de droite à gauche ; c'est-à-dire en augmentant son abscisseàl'origine, jusqu'à ce qu'elle rencontre un second point; qu'on la fasse tourner ensuite autour de ce second point dans le même sens jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que la droite passe par le premier point situé sur l'axe oa?, on formera ainsi une ligne brisée convexe dont chaque côté passe par plusieurs points et laisse tous les autres à sa droite. Chacun des côtés de cette ligne convexe donnera une manière d'établir le premier groupe.

171. — Considérons l'un de ces modes de groupement en particulier et soit - la valeur correspondante de (jl, - étant une fraction irréductible. Deux termes

THÉORIE DJSS POINTS SINGULIERS DANS LES COURBES PLANES. l69

du premier groupe étant du même degré, on aura ou

(«1-«)?=(P-Pl)p.

La différence a^ — a des exposants de ft est un multiple de p, la différence p — ^, des exposants de fc un multiple de 9; on aura donc

n étant un nombre entier. Le premier groupe, ordonné par rapport aux puissances croissantes de A, ou par rapport aux puissances décroissantes de k^ s'écrira donc

ftf Ci ... g étant des nombres entiers croissants.

172. — Nous allons, pour continuer la transformation, distinguer deux cas principaux, selon que le nombre g est pair ou impair. Considérons d'abord le cas où g est impair.

Si Ton pose

A = A'S k = uh'K

h! étant'une nouvelle quantité infiniment petite de même signe que ft, u une quantité finie, le premier groupe devient

A'*^+PPt.P-^P[Aw^«+ Bî/»-^)« + + G].

Tous les termes de l'équation contenant le facteur fe'««+PP, on peut diviser par ce facteur et ramener l'équation à la forme

Cio) ttP-^P[Aw^^ + Bw^^'^'''+ + G] + elc.=:o.

Le premier groupe devant avoir une valeur infiniment petite pour se réduire avec les suivantes, la valeur finie de u différera très-peu de l'une des racines de l'équation

(il) Aw'« + Btt^»-*>« + -{-G = o.

Si l'on pose

cette équation 9e réduit au degré g et devient

Av^+Bv^-^ + + G := o.

173. — 11 faut étudier séparément chacune des racines réelles de cette équation. Soit v^ une racine simple de l'équation (la);

l'équation (u) admet la racine simple u^ èc «<,« , et l'on démon^ trera, comme précédemment, que, quel que soit le signe de ft\ l'équation (lo) admet une racine voisine de «o, et une seule, d'où résulte une valeur de k sensiblement égale à u'Ji!^. k cette racine simple, correspond une branche de courbe passant au point M et s* étendant à droite et à gauche de ce point.

La forme de la courbe varie suivant que p est paâr ou impair, plus grand ou plus petit que q.

i^ p impair. Quand on change le signe de ftoude ft', fc change lui-même de signe; il en résulte une branche à inflexion, tangente à une parallèle à Taxe

des â; si -> 1 (fig. 8g), à une parallèle à

l'axe des y si - < 1 (fig. 90).

Le cas particulier où p = g = 1 rentre dans le précédent. Mais la tangente a une direction oblique et il n'y a plus nécessairement inflexion (fig. 84 et 85).

Fig. 90.

2'* p pair. Quand h' change de signe, ft conserve le môme

Fig. 89,

THÉORIE DES POINTS SINGULIERS DANS tBS COURBES PLANES. i7l

signe. Si - > 1 , la courbe a la forme convexe ordinaire et est

Fig. 91.

Fig. 92.

tangente à une parailële à Taxe des x (fig. gi); si ^< i, elle

forme un rebroussement de première espèce, dont la tangente est parallèle à Taxe des y (fig. 92).

174. — Étudions maintenant le cas où g est un nombre pair. On posera

ft' étant une quantité infiniment petite, positive ou négative, u une quantité finie que Ton pourra toujours supposer positive, à cause du double signe de H ou de A'", puisque p est impair. On affectera la quantité ft'^ du signe + ou du signe — , selon que Ton cherchera les points situés sur la parallèle de droite ou sur celle de gauche. Si Ton considère la parallèle de droite, il faudra prendre ft = A'*; la transformation est la même que celle que nous avons effectuée précédemment, et on arrive aux mêmes équations (10), (11), (12).

Si Ton considère la parallèle de gauche, il faudra prendre ft = — ft'«, les équations (10), (u), (12) sont remplacées par les suivantes :

(10)' u^^ [Ae^^« + (- 0^ Bw^^""^'* +... + (- i/G] + etc. = o. (i 1)' A«^^ + ( - 0^ Bm^^*^'^ +... + (- i/G = o.

(12)' Av^+(-i)^Bî;^~^ + ... + (— i/G«o.

Nous remarquerons d'abord que les équations (12) et (12)' ont

leurs racines égales et de signes contraires. Les valeurs positives de V sont seules admissibles, les valeurs négatives donnant pour u des valeurs imaginaires. Soit donc v» une racine simple positive de l'une de ces deux équations, par exemple de l'équation (12). L'équation (11) admet la racine réelle et positive

t«o = Vo^; si, dans l'équation (10), on donne successivement à h! une valeur positive et une valeur négative, on voit que cette équation admet deux racines réelles voisines de Uo\ il en résulte pour k deux valeurs de signes contraires voisines de uji'p. A cette racine simple t?o correspond ainsi une double branche de courbe située d'un même côté du point M, **' * * adroite daqs l'hypothèse actuelle; elle forme une

branche convexe ordinaire, tangente à une parallèle à Taxe des y

si - < 1 (fig. gS) , un rebroussement de première Fi 94 espèce tangent à une parallèle à l'axe des x si

^>i(fig. 94).

Considérons maintenant une racine négative de l'équation (12); à cette racine négative ne correspond aucun point sur la parallèle de droite ; mais cette racine devient positive dans l'équation (12)'*, et elle fournît l'une des courbes trouvées précédemment, mais tournée en sens contraire, c'est-à-dire vers la gauche.

176. — Nous avons supposé jusqu'à présent que l'équation (12) n'admet que des racines réelles simples. Chacune d'elles donne une branche simple passant par un point M et pouvant offrir une inflexion ou un rebroussement de première espèce. Considérons actuellement une racine réeUe v^ d'un degré n de multiplicité. Le premier membre de l'équation (12) ou (12)' est divisible par (t? — Vo)**, le premier membre de l'équation (1 1) ou (il)' par (w — Uo)\ Si l'on pose