THÉORIE DES POINTS SINGULIERS DANS LES COURBES PLANES

k' étant une quantité infiniment petite, et que l'on remplace u par cette valeur, Téquation (lo) ou (lo)' aura tous ses tennes infiniment petits et prendra la forme

(i5) SA^rVP' = o.

On traitera cette équation comme on a traité l'équation (9). Marquant dans un plan les points qui ont pour exposants les coordonnées de K et de k\ on examinera les différentes manières de former le groupe des termes du degré le moins élevé. Chacun de ces modes conduira à une équation analogue à l'équation (12), après qu'on aura posé A' = ±fc"«',, fc' = u'h"'", t«'''=:i?'. Les racines simples de cette nouvelle équation n'offriront aucune difficulté. A une racine lûmple correspond une valeur de k' de la forme Uo'ft"'', et par suite une valeur de k sensiblement égale

Si q et q' sont impairs, h! et h" ont le signe de k et l'on a une branche de courbe qui s'étend à droite et à gauche du point M, et qui reproduit l'une des formes représentées par les fig. 89, 90» 9»» 92-

Si q est pair, g' impair, il faut choisir le signe de h, ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un côté, h! conserve le double signe, h" a le même signe que ft'; on a donc pour fc, sur une même parallèle, deux valeurs de signes contraires, ce qui reproduit l'une des deux formes représentées par les fig. 96 et 94.

Si q est impair, q' pair, h! a le signe de fe, et A" un double signe; mais dans la nouvelle équation il faudra choisir le âgne de h'j ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un seul côté; h" conservant le double signe, et p' étant impair, on a pour *, sur une même parallèle, deux valeurs du même signe» ce qui donn^ un rebroussement de seconde espèce, dont la tangente est parallèle à Taxe des a? ou à Taxe des y, selon que -

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est plus grand ou plus petit que l'unité (fig, 96 et 96). Cependant, dans le cas où j) = 9 =3 1 , le reinroussement est de première espèce, la tangente ayant une direction oblique (fig. 86).

Enfin, si 9 et 9' sont pairs, il faut d'abord Fis «5. choisir le signe de ft, puis celui de h\ h" conservant le double signe. On a encore un rebroussement de seconde espèce (fig. 96 et 96).

Quand l'équation en v' a des racines multiples réelles, on pose u'=u\-\'k' et on opère unei nouvelle transformation analogue aux précédentes, Fig. 96. et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à une équation n'ayant plus de racine multiple.

176. -^ Il est aisé de voir que la suite de ces transformations ne peut se prolonger à l'infini, et qu'elle doit nécessairement se terminer après un nombre limité d'opérations. Si Ton désigne, en eifet, par m le degré de l'équation proposée, le plus fort exposant de fc et de u dans les équations (9) et (10) étant au plus m, il est évident que le degré de l'équation (12) ne peut

surpasser — ; le degré n de la racine multiple v^ ne peut donc

surpasser—. Quand dans l'équation (10), on remplace u par

^0 + ^j l6 premier groupe fournit un terme en **" indépendant de ft'; l'exposant de k dans le premier groupe de la nouvelle équation sera donc au plus égal à n; le degré de l'équation

en t^' ne pourra donc surpasser - ou — ;« En continuant ainsi,

on voit qu*aprè3 un certain nombre d'opérations le degré de

l'équation à laquelle on arrive, ne pouvant surpasser —rrti ^^^

nécessairement du {M*emier degré«

Le Raisonnement serait en défaut si l'on avait qtssuf ::s2q[\,. mais, dans ce cas, comme fc=ft'=ft''=... le degré de ft'ne va pas en augmentant; comme d'ailleurs, à chaque opération, on

THÉORIE DES POINTS SINGUUERS DANS l£S COURBES PLANES. 175

divise par une certaine puissance de A, il est évident que ce degré va en diminuant; on arrivera donc à une équation du premier degré en ht dans laquelle le premier groupe sera néces* sairement formé de ce terme en A et du premier terme indépendant de A, on aura ainsi à résoudre une équation binôme en u» et par suite une équation du premier degré en v.

177. — Il résulte de ce qui précède, que les courbes algébriques n'admettent ni points d'arrêt, ni points saillants. La méthode ramène, en effet, la construction de la courbe à la considération des racines simples réelles de diverses équations ; or nous avons vu que dans tous les cas une racine simple donne deux branches ayant même tangente, et situées de part et d'autre ou d*un même côté de la tangente ou de la normale; elles forment donc, ou une courbe ordinaire convexe ou à inflexion ou un rebroussement de première ou de seconde espèce.

Il est à remarquer qu'une fois arrivé à une racine simple, ce qui suffit pour la construction de la courbe, si Ton continuait les transformations on n'aurait plus à considérer que des équations du premiei* degré ^i li; il n'y aurait plus de subdivision dans le calcul ; les exposants seraient tous entiers et Ton obtiendrait le développement de k en série suivant les puissances croissantes de h.

178. — La même méthode sert à déterminer avec exactitude les branches infinies de la courbe et leurs asymptotes ; elle donne toutes les asymptotes paraboliques de la forme

y = ax"" -f bx"^ + e,

les exposants de » étant entiers ou fractionnaires, mais poativest Dans l'équation proposée» considérons x et y comme des

176 UVRE m. — CHAP. II.

quantités infiniment grandes. Marquons dans un plan les points qui ont pour coordonnées les exposants de a; et de y dans chaque terme et désignons par jx le degré de y par rapport k x; le premier groupe, c'est-à-dire le groupe des termes du degré le plus élevé, devant contenir au moins deux termes, on démontrera, comme précédemment que (x est commensurable, que les points correspondants aux termes de même degré sont en ligne droite, et que la droite qui passe par les points correspondants aux termes du premier groupe, laisse tous les autres points au-dessous et à sa gauche. D'après cela, pour former le premier groupe, on imaginera une droite se mouvant parallëlemênt à l'axe de x et venant des y positifs jusqu'à ce qu'elle rencontre un premier point, puis, tournant autour de ce point, de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle en rencontre un second, tournant ensuite autour de ce second point dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième et ainsi de suite, jusqu'à ce que la droite devienne parallèle à l'axe des y. Chacun des côtés de cette ligne brisée donnera une manière d'établir le premier groupe.

Si - désigne la valeur correspondante de [x, on posera a?=x'«^

ou x=ifca?'* suivant que q est impair ou pair, y=ux'p\ si l'on divise par la plus haute puissance de x\ l'équation sera ordonnée

suivant les puissances croissantes de —,; égalant le premier

groupe à zéro, on aura à résoudre une équation en u que l'on simplifiera en posant u* =r. Soit u^ une racine de cette équation,

on posera u = «^ + ft, - = ft, et l'on arrivera à une équation de

la forme

SAA*A^=o

entre le? deux quantités infiniment petites h et k. Où traitera cette équation par la méthode suivie pour leo points singuliers, et l'on poussera les calculs jusqu'à ce que Ton arrive, dans le développement de ft, suivant les puissances croissantes de A» à

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un exposant plus grand que p, ou plus loin encore A la séparation des racines l'exige; la valeur correspondante de y se trouvera îdnsi développée suivant les puissances décroissantes de x et le dernier terme ou les derniers termes étant affectés d'exposants négatifs. En négligeant ces derniers termes, on aura l'asymptote parabolique; les derniers termes indiqueront le nombre et la disposition des branches de courbe qui correspondent à une même asymptote.

Lorsque ? = !,?-, étant égal ou supérieur à l'unité, l'asymptote devient rectiligne. Nous remarquerons qu'à une même asymptote correspondent toujours deux branches de courbe situées d'un même côté, ou de côtés différents par rapport à l'asymptote, vers une même extrémité ou vers deux extrémités différentes.