CHAPITRE m

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Ttiéorème I.

179. — Sij par un point donnée on mène à une courbe algébrique deux sécantes ayant des directions déterminées, le rapport des produits des distances du point donné aux points d'intersec^ tion des sécantes avec la courbe est indépendant de la position du point donné.

Soit, en effet, f{x^y) = o l'équation de la courbe. Soient a, 6

les cosinus des angles que fait avec les

axes une sécante menée par le point

fixe P, {Xoi t/o) (fig. 97). On aura les

distances r du point fixe aux points

^^s- 07. d'intersection de la sécante avec la

courbe, en substituant dans l'équation de la courbe apo+ ar à x^

et î/o t|- 6r à y. Or on a

K^o + «r, y, + hr) = f(x,, y,) + rÇaf'x, + bf'y,) + — . +ry(ia,b)=:o.

Le produit des diverses valeurs de v est

Pour une autre sécante partant également du point P, et dont

THÉORIE DES TRANSVERSALES. l79

les cosinus des angles avec les axes sont a', b\ on aura âe même

On en déduit

^,^ '•'•. ^Q^,ày

expression indépendante des coordonnées du point flxe.

II est clair que dans l'application de ce théorème, il faudra

tetir compte du signe des grandeurs v^, tj, et faire entrer

d'ailleurs celles de ces longueurs qui sont imaginaires.

Vlftëorème II.

180« — Sij par deux points fixes y on mène des sécantes dans une mime direction^ U rapport des produits des segments interceptés entre les points fixes et la courbe est indépendatU de la direction commune de ces sécantes.

On trouve en effet, en opérant comme précédemment,

<p(a, 6) ce qui démontre le théorème.

Tlftéorème ni.