AC'.BA'. CB' = — (AB'.BG'.CAO

ce qui {»^ttve la proposition.

La réciproque est évidente : si trois droites issues des sommets d'un triangle déterminent sur ses côtés six segments qui jouissent de cette propriété, elles se coupent en un même point, pourvu que les trois droites ou une seule d'entre elles coupent les côtés mêmes du triangle.

183. — Le même théorème s'applique de la même façon à une conique coupée par un triangle, et on peut en déduire la réciproque. On a ainsi un moyen de reconnaître si six points donnés sont sur une conique.

Il est facile au moyen de cette propriété de démontrer le théorème suivant :

Dans tout triangle circonscrit à une conique^ les droUes qui joignent les sommets aux 'points de con^ tact se coupent au même point»

Soit en effet ABC un triangle circonscrit à une conique (fig. loi). Soient a, 6, clés points de contact de ce triangle avec la conique. — On a :

Ac».Ba».C6* = A6^Ca^Bc^ d'où l'on tire :

Ac.Ba.Cb =± Ab.Ca.Bc.

En écartant le signe 4-^ qui indiquerait que les trois points a, 6, c sont en ligne droite, il reste

Ac . Ba . G6 = — A6 . Bc . Ca ,

ce qui montre que les trois droites partant des sommets du triangle et aboutissant aux points de contact se coupent au même point.