THÉORIE DES TRANSVERSALES

quelques propriétés des courbes du troisième degré résultant immédiatembUt de ce théorème,

1** Les trois points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite.

Soient a, 6, c trois pointe d'inflexion réels pris sur une courbe ^A du troisième degré. Je mène les tangentes en ces points; elles forment le triangle ABC (fig. 102).

En considérant le point d'inflexion comme la réunion de trois points où la tangente se confond avec la courbe, on a :

Fig. m.

(Ac)»(Ba)»(C6)» = (— A*)»(Ca)»(— Bc)» = AÔ'Ca'Bc»;

d'où:

Ac.Ba.C6 = A6.Bc.Ca,

ce qui montre que les trois points a, &, c sont en ligne droite.

«• On coupe une courbe du troisième degré par une droite;

aux points ffinsersection on mène des

tangentes qui viennent rencontrer la

courbe en trois points qui sont en ligne

ç, droite. Soient a, fc, c les points où la

droite rencontre la courbe du troisième

Fig. i03. degré; en menant par ces points des

tangentes à la courbe, on forme le triangle ABC (fig. io5). Ces

tangentes coupent la courbe en trois autres points a\ b\ c\ et

on a ;

Ac'.Ac'. Ba*. Ba'. C6*.C6' = Ai*A6'. Ga'Ca'.Bc». W.

Or, les trois points a, 6, <î étant en ligne droite, on a :

Ac*.Ba«.C6* = A6«.Ca«.Bc'.

Ac'.Ba!.Cb'= Afr'.Bc'.Ca',

Donc

égalité qui prouve que les trois points a', b\ c' sont en ligne droite.