CONJUGUÉS HARMONIQUES DE DIFFÉRENTS ORDRES

185. — Prenons sur une droite m points a^, a^ . . . a m* Soit p un

point fixe et r,, r^... r« ses dis-

V »t ^7~ P' K tances aux m points (fig. io4).

^^^' *^* On appelle conjugué harmonique

du premier ordre du point p, le point p' dont la distance au

point p satisfait à Téquation :

ou

Les points conjugués harmoniques du second ordre sont les points p' déterminés par la relation :

2t-rî)(?-r}=»-

Cette équation étant du second degré, il y a deux points conjugués harmoniques du second ordre.

On peut voir par là quelles sont les relations qui définissent

les conjugués harmoniques des divers ordres. Les points conjugués harmoniques du (m — i ) • ordre sont déterminés par l'équation :

2è-^)(^-^) (-r-ïi:)="

Il y a m— 1 points de cet ordre.

Enfin si l'on cherche les conjuguée du m' ordre, il est clair qu'ils seront donnés par l'équation :

et l'on voit qu'il y aura m points conjugués de cet ordre, qui coïncideront avec les m points donnés a^, a^...a„,.

186. — Il existe entre les points conjugués harmoniques une réciprocité remarquable :

Si le point p' est conjugué harmonique dû n* ordre du point p, par rapport aux points a,, a,...a«, le point p est conjugué harmonique du point p', du m — n" ordre^ par rapport aux mimes points.

Le point p' conjugué harmonique du premier ordre du point p est déterminé au moyen de l'équation :

ou

Appelons r^^, /j, ... r'«» les distances du point p' aux points a^ a,...,a^, nous aurons les relations suivantes

186 UVBE m. — CHAP. IV,

De sorte que l'équation précédente devient :

en comptant la distance p'p^r' à partir du point p\ comme nous venons de faire pour les autres, ce qui revient à changer r en — r'.

Cette dernière équation mise sous la forme

si l'on multiplie tous les termes par le produi

devient

elle exprime que le point p est conjugué harmonique du point p du m — 1* ordre.

En général un point p' conjugué harmonique du point p de l'ordre n est défini par l'équation

2(;-r:)G-^) G-rj = °'

que l'on peut mettre sous la forme

Si Ton multipUe tous les termes par le produit comme précédemment, cette équation devient

elle exprime que le point p est conjugué harmonique du point p' de Tordre m — n.