POLAIRES DES DIFFÉRENTS ORDRES

187, — Supposons que par un point fixe p on mène une sécante quelconque à une courbe de degré m, il est évident que le lieu du point jp' conjugué de premier ordre du point p sur chaque sécante est une ligne du premier degré, ou une ligne droite; que le lieu des deux points p' conjugués du second ordre du point p sur chaque sécante est une courbe du second degré ; et qu'enfin le lieu des points conjugués de Tordre m — i est une courbe du degré m— i, La courbe proposée admet ainsi m — i polaires successives dont nous chercherons les équations.

Soit

Téquation de la courbe en coordonnées homogènes. Menons par le point p, (a?^, t/^, «J une sécante, et posons

y = y^ + bry

L'équation de la courbe devient en coordonnées polaires En divisant par r**, les deux membres de cette équation, on a

Si Ton appelle r^, r,... r^ les distances du point p aux m points d'intersection de la sécante et de la courbe l'équation de la courbe se mettra sous la forme

^ \r *" rj \r rj \r rj "^ ^*

La polaire du degré m — i que Ton appelle aussi première polaire a pour équation

c'est-à-dire

De même la polaire du degré m — 2 ou la $eeonde polaire a pour équation

OU plus simplement •

En générJ, la n* polaire a pour équation D^R = o.

Cherchons maintenant les équations de ces courbes en coordonnées rectîlignes. Si Pon pose

on a identiquement

et en général

= (^oD-' + y.l»,'

Multiplions tous les termes par r"; Téquation de la n* polaire devient

(0 Kt>x + y^, + ^oi>.)Y(^. y, 2) == 0.

188. — Nous avons remarqué que, si le point p' est conjugué du point p de l'ordre m — n, réciproquement le point p est conjugué du point p' de Tordre n. L'équation précédente est la relation qui existe entre les coordonnées x^y t/o» ^o ^^ point p et les coordonnées a?, y, z du point p'; si l'on regarde ces dernières coordonnées comme constantes et les premières comme variables, on peut dire que l'équation (i) est le lieu du point p conjugué du point fixe p' de l'ordre «.

Permutons maintenant les lettres x^, et a;, y^ et y, %^ et z^ nous voyons que Féquation

(2) (xD,^+ yD,^+ 2D,jY(^o' yo> ^o) -= o

représente la polaire du degré w d'un point fixe ayant pour coordonnées o^^, î/q, ^q»

190 LIVRE IIL — GHAP. IV.

Ainsi la polaire du degré n d'un point fixe est représentée par Tune ou Tautre des deux équations

(^D,^+ yD^^ + zD,Yf{x, , y, , z,) = o,

dans lesquelles rc^,, y^, z^ désignent les coordonnées du point fixe et Xj y, z le^ coordonnées variables d'un point quelconque du lieu.

Cette dernière forme d'équation est en général plus commode que la première. Par exemple, la droite polaire a pour équation

et la conique polaire

(^D,^+ yD, + zD. Yf{x,, y,, z,) = o.