PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES POLAIRES

189. — On peut énoncer la réciprocité des points p et p' en disant que le lieu du point p' dont la polaire du degré n passe par le point fixe p est la polaire du degré m — n de ce point p. Par exemple le lieu du point p' dont la droite polaire passe par le point fixe p est la polaire du degré m — 1 ou la première polaire du point p.

11 en résulte qu'une droite donnée admet (m — i)* pôles; car si l'on prend deux points sur cette droite, les pôles de la droite seront les points d'intersection des premières polaires de ces deux points; ces premières polaires étant du degré m — i,le nombre des points d'intersection est (m — i)*.

On peut remarquer encore que les premières polaires de tous les points d'une droite passent par [m — i)' points fixes, qui sont les pôles de la droite.

POLAIRES DANS LES COURBES ALGÉBRIQUES. I9l

Considérons Tune des tangentes menées du point p à la courbe proposée sur cette droite, deux points d'intersection se confondent, et le polynôme R contient le facteur au carré;

par conséqent) le polynôme D^R admet le même facteur au prô-

mier degré. On en conclut que les points de contact des tangentes menées du point p à la courbe proposée appartiennent à la pre^ mière polaive de ce point.

190. — Lorsque la courbe proposée a un point double a, sur la sécante pa deux points d'intersection se confondent; donc les points doubles de la courbe proposée appartiennent à la première polaire d'un point quelconque du plan.

Transportons l'origine des coordonnées au point a et soient a =3 et p=o, les équations des deux tangentes à la courbe; l'équation de la courbe sera de la forme

La première polaire du point p, a pour équation

la tangente en a à cette polaire est donnée par l'équation ou

cette droite est conjuguée harmonique de la droite ap par rapport aux deux tangentes en a à la courbe proposée.

Les deux tangentes en a coïncident ; la polaire touche cette tangente double.