Soient
les équations des droites OA, OB; celles des droites OC, OD sont de la forme
«— fcp=o,
et le rapport anharmonique du faisceau a pour expression
Si l'on suppose que les quatre droites forment un fiûsceau harmonique, on a
et, par cons^ent, les droites OC, OD ont pour équations
Ces deux droites OC, OD qui déterminent sur une sécante quelconque deux points c, d, conjugués harmoniques des points a, b, sont dites pour cette raison conjuguées harmoniques par rapport aux droites OA, OB-
Les équations des droites^^, OD montrent que si Tune de ces droites est bissectrice de l'angle ÂOB, l'autre est bissectrice de l'angle supplémentaire, et fait par suite un angle droit avec la première.
Tliéorèi
18. — Chaque diagonale d'un quadrilatère complet est divisée harmoniquement par les deux autres.
RAPPORT ANHARMONIQUE. 17
On appelle quadrilatère complet un système de quatre droites indéfinies, qui se coupent.
Le quadrilatère complet formé par les droites o&, od^ ad^ be (fig. 7) , a pour diagonales les( trois lignes ofc, ac^ bd. Il s'agit de démontrer que les points A et 9, où la diagonale bd est coupée par les deux autres, sont conjugués harmoniques par rapport aux points 6 et d, ou que les quatre droites ob^ oA, od, ^ og forment un fsdsceau harmonique.
a = o, p=o, y=o, les équations des droites 06, oc, ac; et
l'équation de la droite M.
L'équation de la droite og, qui passe par* le point 0, intersection des droites ob et od, et par le point g^ intersection des droites ac et ftd, est évidemment
Pour trouver l'équation de la droite oft, remarquons que cette droite passe par le point ft, intersection des droites ad et 6c, qui ont pour équations
a 4" «7 = ® ®^ m^-j-ny^zo.
Ces dernières équations, retranchées membre à membre, donnent l'équation
(a) a — mp = o
qui représente une droite passant par le point k et aussi par le point 0; c'est donc l'équation de la droite oA.
Fig. 8.
18 î-iyBf; ;. — çn^. i.
\i^ ^quatiops (i) et (2) reptrésentenl; cle^ drpites conjuguées harmoniques par rapport aux droites ok et od. Donc les points h et g sont c^qju^és ^armoniaues par rapport aux points b et d.
Ift. — Il résulte du théorème précédent im procédé géométrique simple pour construire le conjugué harmonique d*un point donné c par rapport à deux autres points donnés a et 6. Qn joint les points a, c, 6 à un point quelconque (fig. 8) ;
on prend sur oc un point quelconque e; on mèuç la droite ae qui coupe ob en f^ \a. droite be qui coupe oa en g : le pqint dy où la droite gf^rencontre la droite a6, est le point cherché.
En effet, la droite ab est ^e diagonale çlu quadrilatère complet agofbey et, par conséquent, elle est divisée harmoniquemeut par les deux autres diagonales, (xcj gd.
20. — Si Ton remarque que les droites oc^ af^ bg sont trois droites menées par les sonainets çlu triangle aob et se coupant en vp pènae point ^, on est conduit, par ce qui précède, aux théorèmes suivants :
!• Si Ton remplace l'un des points c, ^, 3, par exemple c, ^ par son conjugué d, les trois points d, /", g sont en ligne droite (fig. 9).
2* Si Ton remplfitce dans des points ç, f, 3, par exemple c et g, par leurs conjugués harmoniques, d et A, les droites qui joignent les trois points /*, d, h aux icw sommets du triangle se rencontrent en un même point k.
Soient , en effet ,
Fig. 9.
les équations des trois côtés ab, ao et bo
RAPf^ORT ÂNHARMONIQUE. 19
du tBa^gle ; les droites af, oc^ bg seront représentées par le système d'équations
équîitions dans lesquelles a, 6, c sont des paramètres arbitraire?, et les droites af, od, et 6A, par le système d'équations
a«= 6p = — Cff
système qm montre que ces droites se coupent en un même point.
3*" Si l'on remplace les trois points c, /, 9 par leurs conjugués harmoniques d, I, ft, ces trois points sont en ligne droite.
Gela résulte immédiatement des deux théorèmes précédents.
