SYSTÈMES H0M06RAP:HIQIJE$ ET INV0L1IT10N

21. Considérons deux droites A, A' (fig. 10) et, sur ces droites, deux systèmes de points, a, 6, c, ..., a', 6', c', ...; si quatre points quelconques de l'un des systèmes ont mêmes rapports anharmonîques que les quatre points correspondants de l'autre, les deux systèmes sont dits homographie ques.

Si l'on prend un système de points sur la première droite, et qu'on prenne, sur la seconde, Fig. 10. trois points quelco^quel| pour points correspondants à trois points de ]Bf preipîère, on peut déterminer, sur la seconde droite, un point correspondant à un point quelconque de la première et formant, avec les trois points déjà choisis, un système homographique.

Soient, en effet, a\ b\ c' les trois points de A' qu'on a pris à volonté pour correspondre aux points a, ft, c de A (fig. 1 1). Par un déplacement de la droite A', amenons le point a' sur le point a.

et, cela fait t menons les droites 56', ce\ qui se coupent au

point 0. On déterminera sur A' le point correspondant d'un point quelconque d de  en joignant o et d par une droite. Le point d' où la droite od coupe A est le point cherché; Fig. 11. car les quatre pmnts a', h\ c\ i^

ont mêmes rapports anharmoniques que les quatre points d» 6, c, d.

22. — ^Si deux droites, sur lesquelles sont situés deux systèmes de points homographiques, s'appliquent Tune sur l'autre, on aura, sur une même droite, deux systèmes de points homographiques. Gela étant, si deux points, a et a', sont conjugués réciproques, c'est-à-dire si a, point du premier système, a pour correspondant a! dans le second, et que, réciproquement, le point a' du premier système ait pour correspondant le point a du second , tous les points de la droite sont deux à deux conjugués réciproques, et le système est dit en involuiion.

Si les points correspondants a et al des deux systèmes homographiques sont conjugués réciproques, il en est de même de deux autres points correspondants 6, b\ En effet, considérons les quatre points a, a\ h et V du premier système, ils ont pour points correspondants, dans le second, a', a, V et 5,, et, puisque les deux systèmes sont homographiques, les quatre premiers points ont mêmes rapports anharmoniques que les quatre autres; donc

ou bien

ab aéj

ijlb~db,'

résultat qui montre que le point b^ se confond avec le point 6,

BAPPORT ANHARMONIQUE. 21

et, par conséquent, que deux points correspondants quelconques, b et &', sont conjugués réciproques.

23. — Un système de «points en involution est déterminé quand on se donne deux couples de points conjugués.

Soient, en eiTet, a, a', 6, V les deux couples de points conjugués donnés sur la droite A.

Faisons tourner la droite  (fig. la) autour du point a, de

l'angle ÂaÂ', et faisons gUs- /fj\^** séria droite A sur elle-même

//4/\ jusqu'à ce que le point a!

h\l \ vienne en a. Alors a vien-

dra en a^, b en 6^, 6' en b^* et Ton aura

aa^ =: aa'9 ùfi^ =: aè, Fig. 12. 01^4= «y,

et les trois droites, a'a^^ 6'fcj, 66',, se rencontreront en un même point 0. Si Ton mène une droite quelconque oc, le point c/ sera le point de la droite A' correspondant au point c, et le point c', obtenu en prenant ac' = a^c\ , sera le conjugué du point c. Chaque sécante partant du point déterminera de même deux points conjugués du système en involution. Quand la droite oc devient parallèle à la droite A, le point c s'éloigne à l'infini , le point c\ vient en î, le point c* en f, de telle sorte que le point t sera le point de A conjugué de l'infini.

Ce point t, que l'on appelle centre d*involution, jouit de propriétés particulières que nous allons étudier.

24. — Désignons par le signe c» le point de la droite A situé à l'infini, et considérons les quatre points a, 6, tî, qo; ils ont, pour points conjugués, a\ b\ co, t, de sorte qu'on a

ai aco hi' i œ

a eo a t

b' cr> ' Vi'

22 IjviiÊ t, — chAP. t,

OU bien, éti rèmai'tjiiâfit que

m étant une constante.

Donc le produit des distances du centre d'involution à deux points conjugués quelconques est constant

26. — Il y a; parmi les points du système en involution, deux points doubles; c'est-à-dire deux points qui se confondent avec }ëUrâ cotljûgués; ces points, g et ft, sont situés ^e part et d'autre et S è^£ilés distances du point i; on a

gi = 4" \^9 ht = — V'

On voit que ces deux points sont réels ou imaginaires, suivant que la constante m est positive ou négative. SI a et a! sont deux points conjugués quelconques , on à

at.at =:m s=z gi '

Les deux points a et a' sont donc conjugués liariiioriîquës par rapport aux points doubles g ël h.

Réciproquemiént, en divisant harînoniquemeiit; dé plusieurs façons, une mfeme droite, oh forme uii àystèmé en iiivblùtion ayant pour centre le inilieii , et pour points doubles les extrémités de îa droite.