PÔLE ET PLAN POLAIRE
$20. -^ ÉquaUim du plan tàngéHt à une sutfàtè* -«- Noue sâvond que le plan tangent en uh point œ, y^ » d'une suriiaee quelconque
a pour équation
(x-^)r.+(Y-s)rv+{z-^)r.=o.
L'équation de la surface peut s'écrire
si t est égal à i , ou encore si l'on multiplie par r, m étant le degré de l'équation
f[Xy y, z, t) = 0.
Mais alors f est une fonction homogène du degré m par rapport aux lettres x^ y, z, ^; on a donc identiquement, d'après le théorème des fonctions homogènes,
et comme le p(ûnt Xf y^ z est un point de la wrfacei on a
xr.+yry+^f\=-trr
Si Ton substitue dans Téquation du plan tangent» en remplar-
216 UVBfi IV. — CHAP. I.
çant ^ par T pour symétrie d'écriture, T étant du reste égal à i comme U cette équation devient
221. — Forme particulière de Véquation du plan tangent pour les surfaces du second degré. — Si f (a?,y,«,^) est une fonction homogène du second degré, f «, fy^ f ,, f, seront des fonctions homogènes du premier degré en a?, y, Zy t, et comme f ^,=/"^, si Ton forme un tableau des coefficients des dérivées f^, f^^ f,y ft ordonnées par rapport aux lettres x^ y» z, t^ ce tableau sera symétrique par rapport à la diagonale.
tt
De cette symétrie résulte l'identité
^T. + i/f'y + ^'A + ^'A = ^A' + y rV + ^/'.' + ^/ V,
car dans les deux membres le coefficient de a/js est y
(Il est évident que la démonstration de cette identité s'applique à une fonction homogène du second degré à un nombre quelconque de variables).
Il résulte de cette identité que l'équation du plan tangent à une surface du second degré, en un point x\ y', jz', peut se mettre sous la forme
PÔIiES ET PLANS POLAIBES. 21 7
222. — Plan de contact relatif à un point* — Par un point extérieur à une surface, on peut mener une infinité de plans tangents à cette surface; l'enveloppe de ces plans est un cône circonscrit à la surface. Si a?,y,« est un point de contact de ce cône, le plan tangent à la surface doit passer par le point considéré x\y\z'; on a donc les équations
pour déterminer la courbe de contact.
Il résulte de là, que pour une surface du second degré, la courbe de contact relative à un point est dans un plan dont l'équation s'obtient en écrivant l'équation du plan tangent comme si ce point était sur la surface.
228. — Classe d'une surface. — Par une droite on peut mener un nombre limité de plans tangents à une surface; ce nombre définit ce qu'on appelle la classe de la surface. Il est facile de déterminer quelle est, en général, la classe . d'une surface de degré m. Les plans tangents qu'on peut mener à cette surface par une droite donnée sont, en effet, les plans tangents menés par cette droite au cône ayant pour sommet un de ses points et circonscrit à la surface. Mais le cône circonscrit à une surface a pour directrice la courbe de contact relative à son sommet, courbe qui résulte de l'intersection de la surface proposée par la surface représentée par l'équation
Cette équation est du degré m — i , la directrice du cône est donc en général du degré m {m — i), et par suite il en est de même du cône.
Or le nombre des plans tangents que l'on peut mener à un cône du degré m {m — i) par une droite passant par son sommet est
218 UVlfi IT. — GHAP. I»
égal au nombre de tangentes que Ton peut mener d'un point à une courbe plane du même degré» Le nombre cherché^ et par suites la classe d'une surface de degré m est dotic^ €» général^
224. — On appelle plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré, le lieu de son conjugué harmonique, sur les sécantes menées de ce point, par rapport à leurs points d'intersection avec la surface.
Inversement un point est le pôle de son plan polaire.
Tlftéerènie I.
Le plan polaire d'un point par rapport à une êurface au second degrés est le plan de contact relatif à ce point*
Gela résulte immédiatement de ce que, si par le point considéré on mène un plan quelconque, Tinterseclion du lieu cher-" ché par ce pUn est la corde de contact relative au point par rapport à la section*
On peut encore démontref ce théorème par le calcul suivant, analogue à cfelul qui à été employé eh géométrîe plaUé •.
Soit f{Xiy,z) = o î' équation de lasui'face; aJcî/o^^o le poîfi considéré P. Par le point P on mène une sécante quelconque dont les équations sont
La valeur commune r de ces trois rapports exprime comme on ssttt la distance d'un point quelconque x,y,« de la sécante au point Xo.Vç, «o, ou P. Si x, y, z désignent en particulier les
PÔtEs'fet PLANS t>OtÂtRfeS. 219
pointa de i-ehcontrfe âe k sécante avec la surface, on aura
ou
n^o . yo» ^0 ) + («r. + ?fy + Y A )r + Ar* = ,
A étant une fonction de a,p,Y, Cette équation donne les distances r', r'' du point P aux points de rencontre de la sécante avec la surface. Mais si r désigne la distance du point P au point du lieu situé sur la sécante, on a
r r*^ r"' et par suite,
^ A^o » yo > ^(
Comme le poîlit du lieu est situé sur là sécante, on B,ar=x — a?o, pr = î/ — j/o» '^rsrzz — ^o» et par suite l'équation du lieu est
(^ — x^fx^ + (y — yjf yo + (« — ^e) Ao + a/*(«è > y«* «o) = o.
Si Pon introduit dans la fonction f la lettre t, qui rend cette fonction homogène et que nous supposerons égale à i , on a , d'après le théorème des fonctions homogènes,
& l'on «ubstitue dans l'équation précédente, elle devient
^r.^ + yf\^ + «A + ^A. = 0, (i)
ce qui prouve que le lieu cherché, ou le plan polaire du point P, est bien le plan de contact relatif à ce point.
226« >^ Le pôle d'un plan dont Téquation est Aa? + By+C:ç + D = o
220 LIVBB IV. — CHAP. !•
est le point â?o9yof ^o dont le plan polaire a pour équation l'équation précédente; mais, comme le plan polaire du point x.jt/oyZ^ est représenté par l'équation (i), l'identification donne, pour déterminer Xo.yo^Zo, les trois équations du premier degré
A. fV A. A
Tliéorèiiie II.
226. — le plan polaire d'un point par rapport à une surface à centre est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par ce points et ce diamètre est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et à son point de rencontre avec le plan polaire.
Ce théorème résulte immédiatement du théorème analogue en géométrie plane par des considérations identiques à celles qu'on a employées au commencement du n" 224.
Il résulte de là que, dans le cône, un point a pour plan polaire le plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par ce point; par suite, si un angle triédre ayant pour sommet le som^ met d'un cône est réciproqvSy c'est-à-dire tel qu'un point d'une arête ait pour plan polaire la face opposée, les trois arêtes de ce trièdre fomuront un système de diamètres conjugués du cône.
Si l'on coupe un cône par un plan, les points déterminés par ce plan sur un angle trièdre réciproque par rapport au cône, seront les sommets d'un triangle réciproque par rapport à la section.
Réciproquement, les trois droites qui joignent un point quelconque aux sommets d*un triangle réciproque par rapport à une conique^ forment un angle trièdre réciproque par rapport au cône ayant même sommet et ayant pour base la conique considérée. Par conséquent, ces trois droites forment un système de diamètres conjugués du cône.
