PÔLES ET PLANS POLAIRES
227, — Dans les surfaces dépourvues de centre, le plan polaire d'un point est parallèle au plan tangent à la surface au point où elle est rencontrée par la parallèle à l'axe menée par le point considéré, et le point de contact est, sur cette droite, à égale distance du pôle et de son plan polaire. Gela résulte de ce que tout plan mené par la parallèle à l'axe qui passe par le pôle, coupe la surface suivant une parabole.
228. — De la définition même du pôle et du plan polaire, il résulte que le pôle d'un plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point , et que, réciproquement, le plan polaire d*un point situé sur un plan passe par le pôle de ce plan.
Théorème m.
Si par un point p on mène une sécante gtAelconque^ les plans tangents à la surface aux points où elle est rencontrée par la sécante^ se coupent suivant une droite située dans le plan polaire du point p.
Si, par la sécante, on fait passer un plan quelconque, son pôle sera, en effet, situé sur l'intersection des deux plans tangents, puisque c'est le sommet du cône circonscrit à la surface suivant la courbe d'intersection ; et, d'après ce qui précède, ce point est situé sur le plan polaire de p.
Théorènie IV.
229. — Lorsqu'un plan tourne autour à! une droite A, son pôle décrit une droite B.
Soient, en effet, p et q deux points de A ; leurs plans polaires P et Q se coupent suivant une certaine droite B; un plan quelconque passant par A contient les deux points p et g, son pôle est donc à la fois situé sur les plans P et Q, et par suite sur leur intersection B.
322 • UVRB IV. — CHAP. I.
Réciproquement, si un point décrit une droite B» son plan polaire passe par une droite fixe A*
La droite B étaot l'intersection des deux plans P et Q, le plan polaire d'un quelconque de ses points passe,^ en effet, par les pOlesf p et 9 de ces plans, et par suite par la ligne À qui les joint.
I^^s d^ux lignes A et B, telles que les plans polaires des points de chacune d'elles passent par Tautre, sont dites coU'* juguées. Chacune d'?lles est la corde de contact des plans tangents menés pai* l'autre à la surface, parce que ces plans sont les plans polaires de leprs points de contact»
Tliéerème V.
230. — Si A et Bsont deux droites conjuguées ^ chacune d'elles est dans le plan diamétral conjugué à la direction de Vautre.
La droite B est, en effet, située dans le plan polaire du point situé à rinfmi sur la droite A, et ce plan est le plan diamétral conjugué de la direction de cette droite.
Vltéopènie \I.
281. — 5t une transversale rencontre deux droites conjuguées A et B aux points a et b, les points m et m', où elle perce la surface ^ sont conjuguées harmoniqms par rapport à a et b.
Ce théorème résuite de ce que le plan polaire du point a contient la droite B et, par suite, le point b.
Vlftéorème VII.
282. — Si deux plans V et Qse coupent suivant une droite A, il y a deux points qui ont même plan polaire par rapport à la surface et par rapport au système des deux plans. Ces deux points sont silués sur la droite B conjuguée de A par rapport à la surface.
PÔIES £T PLANS PQLikII&ËS. iSS
Si un point m a même plan polmre par rapport à la surface et au système des deux plans, son plan polaire passpra par la droite A» et par suite ce point sera situé sur la droite conjuguée de  par rapport à la surface. Pour qu'un point de cette droite B ait même plan polaire par rapport à la surface et au système des deux plans, il faut et il suffit qu'il ait même conjugué harmonique par rapport aux deux points d'intersection de B avec la surface et par rapport aux deux points d'intersection de la même droite avec les plans P et Q; or il n'existe sur B que deux pareils points» qui sont les points doubles de l'involution ayant pour points conjugués les deux points d'intersection avec la surface, et aussi les deux points d'intersection avec Pef; Q.
Vhéorème vm.
233. — Par f intersection d'une sv^rfac^ du st^cç^nd degrf ^t de deux plm^i P^ P^m fO'iTe pass§r d^^ ç6n(fn dM second dfgri^
Si un cône passe par l'intersection de la surface et des deux plans, son son^met a même plan polaire p^i-r rapport à la surface et par rapport au système des deux plans; car toutes le3 génératrices du cône coupent la surface et 1^ système des deux plans aux mêmes points, et, par suite, rencontrent les plans polaires du sommet, par rapport à la surface et par rapport au système de sdeux plans, aux mêmes points ; d'où il résulte que ces plans se confondent.
Si donc on peut faire passer des cônes par l'intersection considérée, ils auront pour sommets les deux points que nous avons déterminés dans le numéro précédent. Mais il est facile de voir que le cône qui a pour sommet Tun de ces points, et pour base Tintei-section de la surface par l'un des plans, passe par l'intersection de la surface et de l'autre plan. En effet, le second point d'intersection d'une génératrice quelconque de ce cône avec la surface, et le point d'intersection de cette génératrice
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avec le second plan, sont tous deux le conjugué harmonique du premier point d'intersection avec la surface, par rapport au sommet et au point d'intersection avec le plan polaire de ce sommet.
