CHAPITRE III

TJkéoThmten eënëraxcc mxur les sxurfaoefl du second deepE*^*

Théorème I.

2âô. Toutes les surfaces du second degré qui passent par huit points^ ont, en général^ une infinité de points communs situés sur une ligne à double courbure, intersection de deux quelconqu^es d'entre elles.

Il a, en effet, été démontré dans la Géométrie analytique, livre VI, chapitre Vlli que par neuf points donnés on peut toujours faire passer, au moins une surface du second degré, et qu'en général, on n'en peut faire passer qu'une. Il en résulte que par huit points on en peut faire passer une infinité. Soient alors S = o, S' = o deux d'entre elles ; l'équation

qui renferme un paramètre variable fc , représentera toutes les surfaces passant par les huit points, puisqu'on peut toujours déterminer fc de façon que la surface passe par un neuvième point. Or toutes les surfaces représentées par l'équation (i) passent par l'intersection des surfaces S = o. S' = o.

Lorsque neuf points déterminent une surface du second degré unique, ces neufs points sont dits distincts. Lorsque les neuf points ne sont pas distincts, c'est que, parmi les équations

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qui expriment ces conditions, il y en a au moins une qui rentre dans les autres; par conséquent, pour déterminer la surface, on peut alors se donner un dixième point arbitraire. De là résulte que toutes les surfaces qui passent par huit des neuf points donnés passent par le neuvième ; et par conséquent, lorsqu'une surface du second degré n'est pas déterminée par neuf points, c'est que ces neuf points sont situés sur une même ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré.

L'équation (i) cessera de représenter toutes les surfaces passant par les huit points, lorsque ces huit points, joints à un neuvième quelconque, seront situés sur une même ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré; c'est-à-dire lorsque toute surface passant par sept des points donnés passera par le huitième (nous verrons tout à l'heure que cela est possible) ; dans ce cas les huit points ne sont plus distincts.

Théorènie eorrélatlf.

247. Toutes les surfaces du second degré qui sont tangentes à huit plans donnés^ sont, en général, enveloppées par une même surface développable.

Vltéorème II.

248. Toutes les surfaces qui passent par sept points donnés ont un huitième point commun.

Soient en effet S = o. S' = o. S" = o trois des surfaces passant par les sept points donnés. L'équation générale des surfaces passant par ces sept points est alors