THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Théorènle TOI.

270. — Toutes les surfaces du second degré qui passent par sept des sommets de deux tétraèdres réciproques à eux-mêmes par rapport à une mêm>e surface du second degré, passent par le huitièms sommet.

On peut, en effet, prendre pour équation de la surface donnée

par rapport au premier tétraèdre;

par rapport au second. Si alors a, 6, c, d sont les coefficients des carrés dans l'équation d'une surface quelconque rapportée au premier tétraèdre, a', b\ c\ d' les coefficients des carrés dans l'équation de la même surface rapportée au second tétraèdre, le raisonnement du n"" 268 montre que l'on a

Par conséquent, dès que sept de ces quantités seront nulles, la huitième le sera aussi, ce qui prouve la proposition. Nous avons déjà énoncé le théorème corrélatif (n"" 249).

Tliéorèiiie IJL,

271. — Les lignes qui joignent les sommets correspondants de deux tétraèdres polaires conjugués, par rapport aune surface du second degré, sont des génératrices du même système d'un hyperboloîde à une nappe.

Soient

2S8 IITftE IV* «— GHAP. m.

les équations des faces d*un des tétraèdres, a, 6, c, d les sommets correspondants du second» Les équations des droites considérées sont évidemment

JL— 1. — X

en désignant par a^ le résultat de la substitution des coordotinées du point a dans Téquation du plan ^ Mais alors on a Oq = 6^, et si on pose

les équations précédentes deviennent

Maintenant les conditions pour qu'une droite

fta 4^ ig 4- CY + rfS = a'ttJ^ i'jl -f.c'Y + rf'8 = o