THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. S6B

rencontre chacune de ces lignes droites, sont

m{aV — bd) + n[ac* — cd) -j- /?(ûd' — do!) = o , q [M — cV) + r(M'— dV) + m(6û'— ab') = o , s [cd: — de') + n[co! — ac') + q (cb' — bd) = o , p(da'-^ ad') + r(dtf — bd') + 8(d&^ cd') = o.

Or si on ajoute ces quatre conditions , le résultat s'évanouit identiquement. Donc toute droite qui rencontre trois des droites considérées rencontre la quatrième; ainsi les quatre droites sont situées sur une surface réglée du second degré.

La propriété corrélative est que les quatre droites , suivant lesquelles se coupent les faces correspondantes des deux tétraèdres, sont aussi sur un même hyperboloïde à une nappe.

Théorème HL,

272. — Par les douze points de rencontre des génératrices d'un tétraèdre et S une surface du second degrés on peut faire passer quatre plansy chacun d'eux étant mené par trois points situés sur les génératrices d'un même sommet; les droites d'intersection de ces plans et des faces opposées du tétraèdre sont des géné^ ratrices rectilignes du même système d'un hyperboMde à une nappe.

Soient a, p, y, 8 les faces des tétraèdres. Si Ton met l'équation de la surface sous la forme

il est facile de voir que les quatre plans ont pour équations

a = /p -|- my + ^^ »

Y = rS + wa +/?p, 8 = na -|- çP + n»

260 LITHE IV. — CHAP. m.

Il nous faut prendre les intersections de ces plans respectivement avec les quatre plans

et ce sont les quatre droites ainsi obtenues qui sont sur un même hyperboloïde. Les conditions pour qu'une droite

aot + 6p -f- CY + d8 = 0, a'a+i'p 4-c'Y+rf'5=:o,

rencontre ces quatre droites, sont

/ {cd: — d&) + m{db' — M') + n(bc'— cV) = o, p Ida' — ad')+q (a(/ — ccl) + lied'— de') = o, r{aV — ba!) + m{hd' — db') -f /){da'— arf') = o , n {be' — cV) + q {ea! — ac') + r(aV— ba') = o.

Or si on ajoute ces équations multipliées respectivement par + ï, — lï+i» — »» on trouve ime identité. Donc toute droite qui rencontre trois des droites considérées rencontre la quatrième.

Ce théorème est l'analogue du théorème de l'hexagone de Pascal en géométrie plane. Le théorème corrélatif peut s'énoncer ainsi :

Par les génératrices d'un tétraèdre on mène douze plans tan-gents à une surface du second degré ; ces plans passent trois à trois par quatre points , si Ton combine ceux qui passent par les côtés d'une même face du tétraèdre; les droites qui joignent ces quatre points aux sommets correspondants du tétraèdre sont des génératrices du même système Sun hyperboloïde à une nappe.