CHAPITRE' IV

IjlgAes focales.

273. — Nous avons appelé, en géométrie plane, foyer d'une courbe du second degré , un point dont la distance à un point quelconque de la courbe est fonction linéaire des coordonnées de ce point.

11 résulte de cette définition que si x' et y' désignent les coordonnées d'un foyer d'une courbe du second degré, l'équation de la courbe peut se mettre sous la forme

[x — x!Y + [y^t/f->r\{rnx + ny + pY = o.

Cette équation peut être interprétée autrement : elle exprime que la courbe est doublement tangente, suivant la droite

mx + ny -|- p = o, au cercle de rayon zéro, défini par l'équation

[x-xJ+{y-yr = o.

Comme ce cercle se réduit à un point qui n'est autre que le foyer, on peut donner des foyers dans les courbes du second degré cette autre définition :

On appelle foyer à* une courbe Au second degré tout point-cercle ayant avec la courbe un double contact.

La ligne des contacts est alors la directrice.

Cette définition peut être généralisée quand on passe à l'étude des surfaces, et elle conduit naturellement à définir ainsi les foyers des surfaces du second degré :

On appelle foyer d!une surface iu second degré tout pointsphère ayant avec la surface un double contact.

Un pareil point a avec la surface deux sections planes communes; les plans de ces sections sont tous deux réels ou tous deux imaginaires. Dans les deux cas, ils se coupent suivant une droite réelle , que nous appellerons la directrice correspondante au foyer. Cette droite est la droite des contacts.

La recherche des foyers des courbes du second degré montre que ces courbes ont quatre foyers , dont deux réels situés sur le même axe, et deux imaginaires situés sur l'autre axe.

Nous verrons qu'une surface du second degré admet une infinité de foyers, dont le lieu forme trois coniques, situées dans les plans principaux. Nous appellerons ces coniques les lignes focales iê la surface.

274. — Lignes focales des surfaces à centre. L'équation d'une surface à centre rapportée à son plan principal est

On obtiendra les foyers de cette surface en identifiant son équation avec l'équation

• (a) S — LM = o,

dans laquelle S= o est l'équation du pointnsphère, L = p, M = lès équations de deux plans.

De ce que l'équation (2) doit pouvoir s'identifier avec l'équation (1), il résulte que le produit LM ne doit pas renfermer

LIGHBS FOCALES. S6S

les rectangles des variables; il est donc de la forme ax^ + ay + a"z* +bx+ Vy •\^V'% + c, ou, ce qui revient au môme,

û(ar-«)« + %-p)» + c(;:-T)«+rf.

Cette quantité devant poavdr se décomposer en fticteurs, il faut que d = o et que l'une des trois quantités a, 6, c soit nulle; nous adopterons l'hypothèse c = o et nous déduirons des résultats obtenus, les résultats dans les deux autres hypothèses, simplement p£ff symétrie.

Kous avons donc à identifier Téquation (i) avec Péquation

ce qui nous donne

z* = o, (3) aî'+aa=:o, î/'+6p=o,

ri

Des cinq dernières équations on déduit, par l'élimination de a, 6, a^ pt Téquatiop

A l'hypothèse que ijous avons adoptée correspond donc une ligne focale située dans le plan des xy^ homofocale à la section principale corre^ondante et ayant pour sommets les foyers (réels ou imaginaires), situés dans ce plan, des sections principales perpepdiculaires.

Aux deux autres hypothèses correspondent évidemment des résultats analogues dans les deux autres plans principaux,

27#, -^ i^ deux plans (i et U ipi correspondent ^ un foy^

26i UYRE IV. — CHAP. IV.

sont représentés par les équations

(a:-«)v/â+(y-p)V^=o, {x — a)\fâ—[y — ^)s/b = o.

Us sont perpendiculaires au plan principal dans lequel se trouve le foyer, et par suite il en est de même de la directrice correspondante au foyer. On aurait pu prévoir ce résultat à priori; car ces plans, coupant la surface suivant la même courbe qu'une sphère, sont des plans cycliques.

Des équations des deux plans L et M il résulte que les coordonnées du pied de la directrice sont a et p et les équations (3) nous donnent pour les valeurs de ces coordonnées en fonction des coordonnées du foyer

„- Ax' By'

Théorème I.

276. — Le plan qui passe par un foyer et la directrice correspondante est normal à la ligne focale et coupe la surface suivant une conique qui admet ce point pour foyer et cette droite pour directrice.

L'équation de la normale en un point x\ yf de la ligne focale située dans le plan des scy est

(A-C)(a>-xO ^ (B-C)(y-y-)

ou

cette équation est évidemment satisfaite par les coordonnées a, p du pied de la directrice.

Ainsi le plan normal à la ligne focale au point F passe par la directrice D. Ce plan coupe la surface suivant une conique et le

ugnës focales.

point sphère suivant un point-cercle F qui a avec la conique un double contact suivant la droite D.

Théorème II.

277. — Le pied de la directrice correspondante à un foyer est le pdie, par rapport à la section principale y de la tangente à la ligne focale menée par le foyer considéré.

Le point a, ^ a, en effet, pour polaire, par rapport à la section principale, la droite représentée par Téquation

Si l'on remplace a et ^ par leurs valeurs en fonction des coordonnées du foyer correspondant, cette équation devient l'équation de la tangente à la ligne focale en ce point

278. — Examinons maintenant la nature des lignes focales dans les différentes surfaces à centre.

1* Ellipsoïde. Soit A > B > C. Dans le plan xy la ligne focale est une ellipse intérieure à la surface.

Dans le plan y2, c'est une ellipse imaginaire; enfin, dans le plan zXy c'est une hyperbole, dont les sommets réels sont sur Taxe des a?, à une distance du centre plus petite que celle des sommets de l'ellipse focale dans le plan des xy situés sur le même axe. Cette hyperbole focale passe par les d ombilics de la surface (fig. 1 15).

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