ZI^-K

Fig. 115.

2» HypifboloUe à une wippe. — Soit G < o et A > B. La ligne focale dans le plan des ocy est une ellipse extérieure à la surface. Dans le plan yz c'est une ellipse imaginaire; enfin, dans le plan des zx c'est une hyperbole dont les sommets sont sur Taxe des a? et qui est intérieure à la surface (fig. 116).

3* Byperbohide à deux nappes. -^ Soit G > 0, A* > B*. La ligne focale dans le plan des xy est une ellipse imaginaire ; dans le plan des y«, c'est ime ellipse dont les sommets sur l'axe des z sont intérieurs à la surface; enlin, dans le plan des zx c'est une hyperbole dont les soauaets réels sont sur l'axe des x et plus rapprochés du centre que ceux de l'ellipse focale (fig.

4* Cône. — Dans le cône les lignes focales se réduisent à des systèmes de droites ;

celles qui sont situées dans le plan du plus grand angle du

cône, sont seules réelles.

Fig. 117.

Théei^ème m.

279. '-*-' Les lignes focales d'un cône sont perpendiculaires aux plans cycliques du cùne réciproque.

Si l'écpi^ion du cône proposé est en effet

îl + IL* + f! = o.

J'équatipR çlu cône réciproque sera

UGN£S FOGAIES,

sa?

Or les Ugnes focales du premier cône situées d^ns le plan des ocy sont représentées par Téquation

et les traces des plans cycliques di; second, perpendiculaires au plan des xy^ sont représentées par l'équation

(A C)ar« + (B-.C)y«=o,

et il est évident que ces équations représentent deux systèmes de droites respectivement perpendiculaires.

Nous ferons une étude spéciale du cône et de ses lignes focales dans un chapitre suivant.

280. — Lignes focales des surfaces dépourvues de centre. — On obtiendra les lignes focales des surfaces dépourvues de centre par la même méthode que celles des surfaces à centre, ou encore, en les considérant comme limites des surfaces à centre.

Le paraholoïde elliptique admet deux lignes focales paraboliques : celle qui est située dans le plan de la parabole principale du plus grand paramètre est intérieure à la surface; celle qui est située dans l'autre plan principal a ses branches infmies dirigées de l'autre côté et est en partie intérieure à la surface (fig. 118)*

Le paraboloïde hyperbolique admçt aussi deux lignes focales paraboliques situées dans les deux plans principaux, et présentant leurs branches infinies dans le même sens que la section principale dan§ le plan de laquelle chacune d'elles se trouve (fig. 119).

Fig. m.

Fig. 118,

281. — Distinction de deux espèces de foyers. — Nous avons appelé foyer d'une surface du second degré tout point-sphère ayant un double contact avec la surface, ou, ce qui revient au même, ayant avec la surface deux sections planes communes. Les plans de ces sections peuvent être réels ou imaginaires; de là deux espèces de foyers. Nous appellerons foyers de première espèce ceux pour lesquels les plans des sections sont réels ; foyers de seconde espèce ceux pour lesquels ces plans sont imaginaires.

282. — Interprétation de ï équation S — LM = o. — Pour les foyers de première espèce, les plans L et M étant réels, Téquation S — LM = o nous donne immédiatement cette proposition :

La distance Sun point quelconque d'une surface du second degré à un foyer de première espèce^ est dans un rapport constant avec la moyenne proportionnelle des distances de ce point aux plans menés par la directrice correspondante, parallèlement aux plans cycliques réels de la surface.

Pour un foyer de seconde espèce, L et M étant imaginaires, l'équation ne peut pas être interprétée de la même manière. Hais nous avons vu qu'on peut la mettre sous la forme

S=a(ir-«)« + %-p)«=o.

Si l'on cherche la distance, comptée parallèlement à un plan z = m.T, d'un peintre', y', is' aune droite

c'est-à-dire la distance l du point af^ y\ ss! au point où la droite considérée est rencontrée par le plan parallèle kz = mx mené par le point x\ y\ z' on a

LIGNES FOCALES. 269

Dans le cas qui nous occupe a ei b sont tous deux positifs; si a est plus grand que 6, on peut poser i + m* =t , et Téquaquation de la surface devient

ainsi le rapport des distances est constant.

Le plan z = mx est un des plans cycliques réels ; mais il est facile de le démontrer géoméîriquement.

Si Ton considère tous les points de la surface situés sur un plan parallèle au plan z = mxy l'extrémité d!e la droite qui mesure, parallèlement au plan z = ma?, leur distance à la directrice, est la même pour tous, par conséquent tous les points de la surface situés dans ce plan sont tels que leur distance au foyer est dans un rapport constant à leur distance à un point fixe de la directrice; et, comme le lieu des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant est une sphère, le plan considéré coupe la surface suivant un cercle. Ainsi

Dans une surface du second degré la distance d'un point quel-conque à un foyer de seconde espèce est proportionnelle à la dis* tance de ce point à la directrice, cette distance étant comptée parallèlement à l'un des plans cycliques réels de la surface.

Le rapport constant de la distance d'un point au foyer et à la directrice a été appelé le module de la surface. De là l'expression de foyers modulaires qu'on donne aux foyers de seconde espèce.

Le raisonnement qui nous a servi à montrer que le plan z = mx est parallèle à un plan cyclique est en défaut quand le module est égal à i. Au lieu d'une sphère on a alors en effet un plan, par conséquent chaque plan parallèle au plan z = mx coupe la surface suivant une droite. La surface est donc un paraboloïde hyperbolique. Il est du reste facile de voir

que le caractère distinctif du paraboloïde hyperbolique est d'avoir un module égal à i.

Tltéorème IV.

283. — Les lignes focales d'utie surface du second degré forment le lieu des sommets des canes de révolution circonscrits à la surface.

En effet, si un cône de révolution est circonscrit à une surface du second degré, son sommet peut être considéré comme un pointrsphère auquel le cône est aussi circonscril et comme deux surfaces enveloppées par le même cône sont doublement . tangentes^ le sommet du cône est un foyer de la surface.

Réciproquement, lorsque deux surfaces sont doublement tan-^ gentes, elles sont enveloppées toutes deux par deux cônes, qui sont de révolution, si Tune des surfaces est une sphère; si la sphère se réduit à un point, les deux cônes se réduisent évidemment à un seul dont le sommet est ce point et qui est encore de révolution; ainsi tous les cônes de révolution, circonscrits à la surface ont leiu* sommet en un point des lignes focales» et réciproquement tout cône circonscrit à la surface ayant son sommet en un point des lignes focales est de révolution. Les lignes focales sont donc le lieu des i^mmets des cônes de révolution circonscrits à la surface.