CHAPITRE V

Htucfaoen inomofodales.

284. — On appelle surfaces homofocdles des surfaces ayant mêmes lignes focales. Il résulte de cette définition que les surfaces homofocales ont mêmes directions d*axes, et que la différence de carrés de leurs axes de même direction est constante.

Nous rapporterons les surfaces homofocales à leurs axes communs et nous représenterons par

Téquation de la première surface, a', 6*, é* pôuvatit être négatifs. Nous représenterons aussi pat a'*, fr^S c'* les carrés deâ axes d'une surface homofocale, ces quantités pouvant aussi être négatives. De sorte qu'on a

Problème.

285. — Trouver Ib$ surfaceg homofocales à me iurfaee donnée et passant par un point donnée

Soit

r équation de la surface donnée. L'équation générale d'une surface homofocale est

En exprimant que cette surface passe par le point a?', y\ z\ on a^ pour déterminer X, l'équation du troisième degré

Cette équation a toutes ses racines réelles et inégales, car si on suppose que a*, 6*, c* soient dans l'ordre de grandeur oroissantOy on voit immédiatement sur l'équation qu'il y a une racine comprise entre — oo et a' — e, une autre entre a* + e et 6* — €, et enfin une troisième entre 6* + e et c* — e.

Il y a donc trois surfaces homofocales passant par un point donné, et il est facile de voir que l'une est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloîde à une nappe, la troisième une hyperboloïde à deux nappes. Si js* = o, l'une des racines de l'équation en \ devient X = c* et la surface homofocale correspondante est

Ainsi quand le point x\ y', J est dans l'un des plans principaux de la surface proposée, ce plan est J'une des trois surfaces homofocales passant par ce point. Si l'on fait tendre z' VQTS o, on voit que l'une des trois surfaces s'aplatît de plus en plus sur le plan xy^ son contour apparent sur ce plan s'approchant de plus en plus de la hgne focale située dans ce plan, de sorte que la limite des plans tangents menés par une droite extérieure se compose des plans que Ton peut mener par cette droite tangentiellement à la ligne focale.