SURFACES HOMOFOCALES

286. — Expressions des coordonnées d'un point en fonction des axes des surfaces homofocales passant par ce point. — Pour résoudre simplement cette question, nous prendrons pour inconnue dans le problème précédent Taxe des a; de la surface cherchée. Si Ton pose 6' — a*=^k^^c* — a* = ft',k* et A* pouvant être négatifs, les axes des x des surfaces homofocales passant par le point x\ y\ js' seront donnés par l'équation du troisième degré en a'*

^ + a'« + A:*"^«'* + /i*~ '' ou

+ a'« [A«A« — (« + Jt«) a/* — Ay^ __ j^^^'-j ^'A; V« = o.

De là on déduit, en désignant par a', a", a"' les trois axes des X des surfaces cherchées

et par symétrie

(6«at)(c2 a*)'

(c* — 6»)(a»— 6») * — (a«c»)(6« — c')' 287. — De l'équation (i) on déduit encore

a'2 +a"» -1- a"" = a;'* + y" + z" — h^ — k*, d'où

ce qui exprime que le carré de la distance d'un point au centre est égal à la somme des carrés de trois des axes des surfaces homofocales passant par ce point, ces axes appartenant aux trois

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surfaces et étant dirigées suivant les trois axes de la surface proposée.

On peut, comme exercice de calcul, se proposer de déduirje la relation précédente des valeurs de a:'*, y'% «'* trouvées dans le numéro précédent.

Tliéopèiiie !•

288. — Deux surfaces homofocaies se coupent mutuellement à angle droit.

Soient

^' + yL + iL =

deux surfaces homofocales qui se coupent, x\ y\ z' un de leurs point d'intersections, les normales aux surfaces en ce point font avec les axes des angles dont les cosinus sont