P^- PY^^ PY

w' //' M— Ti" —

P ^v,> P f^ntf P ^i.ty

p', p" étant les distances de l'origine aux plans tangents aux deux surfaces. L'angle ç des deux normales est donné par la formule

coso

Or si on retranche membre à membre les équations des deux surfaces, en remarquant que

SURFACES HOMOFOGALES. 276

il vient

On a donc cosç=: o.

Tliéorème D.

289. — La section diamétrale parallèle au plan tangent en un point d'une surface du second degré a ses axes parallèles aux normales aux deux surfaces homofocales à la proposée qui passent par ce point.

Ces deux normales sont en effet rectangulaires et parallèles au plan de la section ; il reste à voir que les cosinus de leurs directions vérifient la relation qui existe entre les cosinus de deux diamètres conjugués, c'est-à-dire que Ton a

Mais les trois surfaces qui passent par le point x\ yS js' étant homofocales, on a

Retranchant membre à membre, il vient

Ce qui démontre la proposition.

290. — Longueur des axes de la section. Si Ton désigne par a, p, Y les angles que fait avec les axes un rayon vecteur de la

surface et par o sa longueur, l'équation de la surface peut s'écrire

1 COS*a COS'P COs'y

Les axes cherchés sont les rayons vecteurs de la surlace qui font avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus sont

On a donc pour la longueur du premier axe

Mais nous avons

En retranchant , il vient

Par conséquent la valeur du premier axe est

P'* = «• — «'», celle du second est de même

SURFACES HOMOFOGALES. 277

291. — Si Ton désigne par p la distance de l'origine au plan tangent à la surface proposée au point x\ y\ z\ on a, d'après le second théorème d'Apollonius,

ppY=ab€; donc

Considérons maintenant une siu'face du second degré

et appelons a\ a'^', a'", 6', b'\Jb"\ c\ c", d" les axes des trois surfaces homofocales qui passent par un point quelconque x\ y\ «', et p', p". p"' les distances de l'origine aux plans tangents à ces trois surfaces, on a

yjnt, .

On remarque de suite l'analogie qui existe entre ces valeurs de p\p",p'" et les valeurs données précédemment pour a;', y', js' (n** 286). On 'peut interpréter cette analogie de la manière suivante: Si l'on prenait pour axes coordonnés les normales à trois surfaces homofocales en leur point de rencontre, p', p", p'" seraient les coordonnées du centre de ces surfaces. La symétrie observée montre qu'il y a trois surfaces homofocales entre elles, ayant pour directions d'axes les normales aux premières surfaces homofocales considérées, passant par le centre de ces surfaces et tangentes à leurs plans principaux; les carrés des

278 UVBE IV, — fiHAP. V.

axes de la surface tangente à yz sont a'% a"', a"" ; ceux de la surface tangente à zxy 6'% 6"S 6'""; enfin ceux de la surface tangente à ocy, c'% c"\ c'"^.

De plus, d*après le numéro précédent, si par le point x\y\z^ on mène un plan parallèle au plan xy^ il déterminera dans la surface qui est tangente à ce plan une section, dont les axes sont parallèles à ox et oy;les carrés de ces axes sont c' — a*, c' — 6* ; ce plan coupe donc la surface suivant une courbe plane égale et parallèle à la conjuguée de la ligne focale dans le plan xy. (Nous appelons ici lignes conjuguées des courbes ayant mêmes directions d'axes et dont les carrés des axes sont égaux et de signes contraires.)

Problème II,

292. — Tfcfwoer U litu du pôle d'un plan donné par rapport à un système de surfaces homofocales.

Soit

Ax + By^ + Cz = i

le plan donné, Ç, t), Ç les coordonnées de son pôle qu'on obtiendra en identifiant l'équation précédente avec l'équation

Cette identification donne

Si l'on élimine X entre ces équations, il vient pour les équations du lieu

Le lieu est donc une droite perpendiculaire au plan.

SURFACES HOMOFOGAUS. 279

Il résulte de là que le lieu du pôle d*un plan tangent à une surface du second degré par rapport aux surfaces homofocales est la normale au point de contact.

Le problème précédent donne aussi immédiatement la solu-^ tion de cette question : Trouver les surfaces homofocales à une surface donnée^ et tangentes à un plan donné, car il permet de déterminer le point de contact.

OTliéerèiiie m.

293. — Les axes Sun cône circonscrit à une surface sont les normales aux trois surfaces homofocales passant par son sommet.

Il résulte, en effet, de la remarque faite dans le dernier numéro, que le trièdre formé par ces trois normales est réciproque par rapport à la surface proposée, et par suite par rapport au cône; car il a son sommet au sommet du cône et les trois points où ses arêtes rencontrent le plan de contact du cône forment un triangle réciproque par rapport à la courbe de contact. Les arêtes de ce trièdre forment donc un système de diamètres conjugués du cône, et comme le trièdre est trirectangle, ses arêtes sont les axes du cône.

Si la surface donnée s'aplatit de plus en plus, en restant homofocale à elle-même, le cône circonscrit tendra vers le cône focal, c'est-à-dire vers le cône ayant pour base la ligne focale dans le plan avec lequel la surface tend à se confondre; il en résulte que le plan tangent à. une surface est un des plans principaux du cône focal correspondant, et par conséquent les plans menés par une tangente à une surface tangentiellemenl au cône focal du point de contact, font des angles égaux avec le plan tangent à la surface.

Cette propriété est analogue à celle des rayons vecteurs des foyers dans les courbes du second degré.

Si la surface proposée devient un cône, on a cette proposition :

Les plans qui passent par les deux lignes focales d'un cône et par une même génératrice font des angles égaux avec le plan tangent au cône le long de cette génératrice.

294. — Équation du cône circonscrit rapporté à ses axes. — Soient a, p, y les angles que fait avec les axes du cône une normale quelconque à ce cône. La somme des carrés des projections des axes d'une des trois surfaces homofocales ayant pour centre le sommet du cône et passant par le centre de la surface à laquelle le cône est circonscrit, est égale à la somme des carrés des projections de trois quelconques des diamètres * conjugués de cette surface. Prenons par exemple celle des trois surfaces qui a pour axes a\ al\ a'". La somme des carrés des projections des axes de cette surface sur la normale au cône est

a"cos*a + û"*cos«p + a"'«cos'Y ,

et cette quantité est égale à la somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués quelconques de la surface. Or nous connaissons un système de diamètres conjugués de cette surface, celui qui est formé par le rayon vecteur mené du sommet du cône au centre de la surface à laquelle le cône est circonscrit, et par deux droites égales et parallèles aux axes de la courbe conjuguée à la ligne focale de cette surface dans le plan yz. La quantité écrite plus haut est donc égale à la somme des carrés des projections de ces trois droites sur la normale, au cône. Mais les projections de chacune de ces trois droites ne changent pas, lorsqu'on déplace le sommet du cône dans le plan tangent perpendiculaire à la normale considérée. Nous pouvons donc, pour évaluer la quantité précédente, supposer le sommet du cône sur la surface primitive, ce qui réduit le cône à un plan ; alors o'* devient a', cos' a devient i , et les autres cosinus 0. Par conséquent on a la relation