SURFACES HOMOFOCALES
que Ton peut encore écrire
(a'* — a«)cos*a + (o"* — a*)cos*p + {a'"^ — a*)cos'Y ^ o.
Comme a, p, y sont les angles d'une normale quelconque au cône circonscrit proposé, avec les directions de ses axes, l'équation du cône réciproque rapportée aux mêmes axes est
(a'« — a«) a?» + (a''* - a^jtj^ -|- («'"« — a') 2' = o ,
et par conséquent l'équation du cône circonscrit lui-même, rapporté à ses axes, est
Tliéorème IV.
295. — Les cônes ayant pour sommet un point fixe et circonscrits à une série de surfaces homofocales sont homofocaux^ et leurs lignes focales sont situées sur les surfaces homofocales qui passent par le sommet.
11 est d'abord évident que tous les cônes considérés ont mêmes directions d'axes, puisque ce sont les directions des nx)rmales aux trois surfaces homofocales passant par le sommet. L'équation de ces cônes, rapportés à leurs axes, montre de plus que la différence des carrés de leurs axes est constante. Tous les cônes considérés ^ont donc homofocaux ; si l'on prend les axes des cônes pour axes des coordonnées, le système des deux droites focales situées dans le plan xy est représenté par l'équation
Le plan, mené par le centre des surfaces homofocales, pa-
2ft2 UVWE IV. — CHAP. V.
rallèlement au plan xy^ coupe Tune des surfaces homofocales qui passe par le sommet du cône, suivant la conique (n* 290)
la section par le plan parallële mené par l'origine, a pour équation
ce qui démontre la seconde partie de la proposition.
296. — Surfaces homofocales tangentes à une droite. Soit A un point de cette droite ; prenons pour axes des coordonnées les normales aux surfaces homofocales passant par ce point , et soient a', a", a'" les axes de ces surfaces parallèles àl'axea de la surface cherchée. La surface cherchée étant tangente à la droite donnée, en un certain point M , cette droite est une génératrice du cône ayant pour sommet le point A et circonscrit à cette surface; si donc a, p, y sont les angles de la droite avec les axes que nous avons choisis, on ainra (n° 294)
C0S*a COS*P COS'y
fl''^^^^» + ?^^^a« "•" a'"'— a* "" ''*
Cette équation étant du second degré en a% il y a deux surfacQ^ homofocales tangentes à la droite donnée. Soient a'^ et a% les racines, on verra aisément que les deux cônes
se coupent à angle droit. Ainsi ,
On peut mener deux surfaces homofocales tangentes à une
SURFA.GES HOMOFOGALES. , 283
droitef et les deux plans tangents au point de contact sont rectangulaires.
On peut encore énoncer cette proposition de la manière suivante :
Les cônes circonscrits à deux surfaces homofocales et ayant même sommet se coupent à angle droite
Nous donnerons maintenant un exemple de l'emploi de la théorie précédente.
ProMèmc m.
297. — Irouver le lieu du sommet d'un trièdre trirectangle dont les arêtes sont tangentes à une surface du second degré. Prenons pour axes des coordonnées les axes de la surface
donnée S
et soient j?, y, z les coordonnées d'un point M du lieu. Appelons a, p, Y 1^8 angles que fait une des tangentes à la surface avec les axes du cône circonscrit ayant pour sommet le point M ; a', p', y' les angles que fait la seconde arête du trièdre avec les mêmes axes, a", p", y" ^^ angles de la troisième. Ces trois droites étant sur le cône circonscrit, on a, en appelant a\ a", a'" les axes parallèles à l'axe a de. la surface S, des surfaces homofocales passant par le point M
cos'a cos*p cos*Y
a'^ — a^ • a"— a' ' a'"' — a^ cos*a' .cos*P' cos'y'
— UL L * — o.
d'où, en ajoutant
tt" — a'
284 LIVRE IV. — CHiLP. V.
Mais les quantités a'* — a% o"* — a% a"'* — a' sont les trois racines de Téquation
ou
X»+X*(^' + y*+z« — a'— *«~0 X[(6*+cV+{^'+ûV+(«'+^*)2'---^V--cV— aV]+P==o.
La somme des inverses des racines de cette équation est égale au coefficient de \ divisé par P; on a donc pour l'équation du lieu cherché
298. — Des points correspondants. Si a, b^ c^ a\ b\ c' sont les axes de deux surfaces homofocales, deux points x^y^z^ x\ y\ z' de ces surfaces sont dits correspondants lorsque
X x' y y' z zf
It'^â" b'^b" c'^?'
A un point d'une surface correspondent sur les surfaces homofocales de même espèce les points situés sur l'intersection des deux autres surfaces homofocales passant par ce point; car on a
x'^ et -7j reste par suite constant tant que a"% a'"* restent constants,
c'est-à-dire quand on se déplace le long de l'intersection des deux surfaces a" et a'".
Théerème T.
