Soient, dans un faisceau en involution

24 LIVRE h — CHAP. 1.

les équations de deux droites conjuguées A et A' ;

a — Ap=o, a— A'p=:o,

les équations de deux autres droites conjuguées B et B'; et, enfin ,

a — Aîjp = o, a — *\p = o,

les équations des droites G et C également conjuguées.

Considérons les quatre droites A, A', B, G du premier système homographique; les droites correspondantes du second sont A', A, B', G'; et, comme ces deux groupes de quatre droites ont mêmes rapports anharmoniques, on a

kk!=

K^, = rn,

OU bien

m étant une constante.

G' est là un résultat tout à fait analogue à celui que nous avons trouvé (n^ 24) dans le cas d'un système de points en involution. Ce résultat nous montre que les deux droites doubles ont pour équations

a — ^fn?=o, a-|-^p=:o,

et, par conséquent, qu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites A et A', c'est-à-dire par rapport à deux droites conjuguées réciproques quelconques.

Béciproquement, deux droites conji^guées quelconques sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites doubles. 11 en résulte que si l'on représente par

RAPPORT ANHARMONIQUE. 25

les équations des^droites doubles, deux droites conjuguées quelconques seront représentées par les équations

a — Ap = 0, a + fcp = 0.

29. — Les diamètres conjugués d'une courbe du second degré fonnent un faisceau de droites en involution. Car, lorsque la courbe est rapportée à ses axes, deux diamètres conjugués quelconques , ont pour équations

y — fcz: = o, y^Kx=o, les deux constantes k et k vérifiant la relation

où il faut prendre le signe — ou le signe + suivant que la courbe est une ellipse ou une hyperbole.

Ceci montre que les deux droites doubles du faisceau sont imaginaires dans l'ellipse, tandis que dans l'hyp^bole elles sont réelles et se confondent avec les asymptotes. Dans le cas de cette ► dernière courbe, si l'on prend les asymptotes pour axes coordonnés, deux diamètres conjugués quelconques seront représentés (n" 28) par les équations

y — fcc = o, y '\' kx i= o.