RAPPORT ENHARMONIQUE

et, par. conséquent, que deux points correspondants quelconques, 6 et 6\ sont conjugués réciproques.

23. — Un système de points en involution est déterminé quand on se donne deux couples de points conjugués.

Soient, eh effet, a, a\ 6, 6' les deux couples de points conjugués donnés sur la droite A.

Faisons tourner la droite A (fi g. 12) autour du point a, de

F angle A a A', et faisons glisser la droite A sur elle-même jusqu'à ce que le point a' \ vienne en a. Alors a vien-

dra en a,, 6 en 6 t , 6' en 6/ et Ton aura

Fig. It.

ea t = aa\ ajb t ass ai, a i V i =3 ab\

et les trois droites, a'a t , 6'6 t , 66',, se rencontreront en un même point 0. Si Ton mène une droite quelconque oc, le point c/ sera k point de la droite A' correspondant au point c, et le point c\ obtenu en prenant ad = ajt x , sera le conjugué du point c. Chaque sécante partant du point déterminera de même deux points conjugués du système en involution. Quand la droite oc devient parallèle à la droite A, le point c s'éloigne à l'infini, le point c 1 , vient en t, le point c' en t\ de telle sorte que le point t sera le point de A conjugué de l'infini.

Ce point t, que l'on appelle centre d'involution, jouit de propriétés particulières que nous allons étudier.

24. — Désignons par le signe 00 le point de la droite A situé à l'infini, et considérons les quatre points a, 6, t, qo; ils ont, pour points conjugués, a', 6', <*>, t, de sorte qu'on a

aoo

àï

*'co- Vi*

ft tiVUË I. — CflAK I.

eu bien , en remar quant que

a or> ûqo

m étant une constante.

Donc le produit des distances du centre dévolution à deux points conjugués quelconques est constant.

25,-— Il y a, parmi les points du système en involution, deux point» doubles* c'est-à-dire deux points qui se confondent avec Jefurs conjugués; ces points, g et fi, sont situés de part et d'autre et |i égalés distances du point i; on a

f==-{-yw2, fiî = — \Jm*

On voit que ces deux points sont réels ou imaginaires, suivant que la constante m est positive ou négative. Si a et a' sont deux points conjugués quelconques, on à

ai . aï

gi •

Le3 deux points a et aï sont donc conjugués harmoniques par rapport aux points doubles g et fi.

ftéciproquement, en divisant harmoniquement , de plusieurs façons, une même droite, on forme un Système en involution ayant pour centre le milieu , et pour points doubles leë extrémités de la droite.

Pour donner un exemple d'un système de points en

involution, considérons une série A de circonférences passant par deux pointe m et m' et une sécante quelconque À.

Les points où la droite A coupe

les circonférences forment un sys-

Fig 13 tème en involution dont le centre

RAPPORT ANHARMONIQUE. 25

est le point d'intersection o de la droite À et de h droite mm 1

(fig-i3).

On a, en effet,

oa . oa' = ob ,oV =zoc. o</ k = = om . om'. J

Les points doubles sont les points de contact delà sécante A avec celles des circonférences considérées qui lui sont tangentes. Il est évident que ces points doubles sont réels lorsque le point o est extérieur à l'intervalle mm' 9 et imaginaires quand il est intérieur.

27. — Considérons maintenant deux faisceaux issus de deux points différents. Si les rapports anharmoniques de quatre droites du premier faisceau sont égaux aux rapports anharmoniques des quatre droites correspondantes du second, ces deux faisceaux sont dits homographiques.

Si les deux faisceaux de droites partant du même point , et que deux droites correspondantes soient conjuguées réciproques, il en est de même de toutes les autres couples de droites correspondantes , et le faisceau de toutes les droites est dit en involution.

Un faisceau en involution est déterminé quand on donne deux couples de droites conjuguées ; car cela revient à donner deux couples de points conjugués réciproques sur une sécante quelconque , ce qui détermine le système en involution formé par l'intersection du faisceau et de la sécante.

Dans un faisceau en involution, il y a deux droites doubles, réelles ou imaginaires, c'est-à-dire deux droites qui se confondent avec leurs conjuguées; mais il n'y a rien qui corresponde au centre d'involution.