Considérons deux droites A, A' (fig. 10) et, sur ces

droites , deux systèmes de points, a, 6, c, ...» a\ 6', c\ ...; si quatre points quelconques de l'un des systèmes ont mêmes rapports anharmoniques que les quatre points correspondants de l'autre, les deux systèmes sont dits homographie ques.

Si Ton prend un système de points sur la première droite, et qu'on prenne, sur la seconde, Fig.io. trois points quelconques pour points correspondants à trois points de la première, on peut déterminer, sur la seconde droite , un point correspondant à un point quelconque de la première et formant, avec les trois points déjà choisis, un système homographique.

Soient, en effet, a\ b\ c' les troia points de A' qu'on a pris à volonté pour correspondre aux points a, 6, c de A (fig. n). Par un déplacement de la droite A', amenons le point a* sur le point a *

20 LITRE I. — GHAP. I.

et, cela fait, menons les droites 66', ed* qui se coupent au

point o. On déterminera sur À' le point correspondant d'un point quelconque d de À en joignant o et d par une droite. Le point d' où la droite od coupe À est le point cherché; Pig. il. car les quatre points a\ 6', </, (f,

ont mêmes rapports anharmoniques que les quatre points a, 6, e, d.

22. — Si deux droites , sur lesquelles sont situes deux systèmes de points homographiques, s'appliquent l'une sur l'autre, on aura, sur une même droite, deux systèmes de points homographiques. Gela étant, si deux points, a et a', sont conjugués réciproques, c'est-à-dire si a, point du premier système, a pour correspondant a 1 dans le second, et que, réciproquement, le point a' du premier système ait pour correspondant le point a du second , tous les points de la droite sopt deux à deux conjugués réciproques , et le système est dit en involution.

Si les points correspondants a et a' des deux systèmes homographiques sont conjugués réciproques, il en est de même de deux autres points correspondants 6, 6'. En effet, considérons les quatre points a, a\ b et 6' du premier système, ils ont pour points correspondants, dans le second, a', a, V et 6,, et, puisque les deux systèmes sont Pornographiques, les quatre premiers points ont mêmes rapports anharmoniques que les quatre autres; donc

ab é a6' aW m obi db l db'~~ aV : a6/

ou bien

ab ub t

db~db t %

résultat qui montre que le point 6, se confond avec le point 6,