Soient, dans un faisceau en involution

les équations de deux droites conjuguées A et A';

a— ip=o, a— fc'p=o,

les équations de deux autres droites conjuguées B et B'; et, enfin,

les équations des droites C et G également conjuguées.

Considérons les quatre droites A, A', B, G du premier système holographique; les droites correspondantes du second sont A', A, B', G' ; et, comme ces deux groupes de quatre droites ont mêmes rapports anharmoniques, on a

k ■ IF

ou bien

kK=k x \K, = m y

m étant une constante.

C'est là un résultat tout à fait analogue à celui que nous avons trouvé (n° 24) dans le cas d'un système de points en involution. Ge résultat nous montre que les deux droites doubles ont pour équations

et, par conséquent, qu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites A et A 1 , c'est-à-dire par rapport à deux droites conjuguées réciproques quelconques.

Réciproquement, deux droites conjuguées quelconques sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites doubles. Il en résulte que si Ton représente par

RAPPORT ÀNHÀRMONIQUE. 25

les équations des^droites doubles, deux droites conjuguées quelconques seront représentées par les équations

a — Ap = o, a -j- fcp = o.

29. — Les diamètres conjugués d'une courbe du second degré forcent un faisceau de droites en involution. Car, lorsque la courbe est rapportée à ses axes, deux diamètres conjugués quelconques , ont pour équations

^ — fcr = o, y — A^x=a,

les deu* constantes k et k vérifiant la relation

où il faut prendre le signe — ou le signe -f suivant que la courbe est une ellipse ou une hyperbole.

Ceci montre que lès deux droites doubles du faisceau sont imaginaires dans TelKpse, tandis que dans l'hyperbole elles sont réelles et se confondent avec les asymptotes. Dans le cas de cette dernière courbe, si Ton prend les asymptotes pour axes coordonnés, deux diamètres conjugués quelconques seront représentés (n° 28) par les équations

y — fcr = a, y^kxzzzo.