On a vu, en géométrie analytique, que si deux points
y A et B ont pour coordonnées xf et y\ x" et
y", le point M, qui divise la distance AB (fig. 14) en deux segments AM et MB pro-
portionnels aux nombres n et ni , à des
Kg. i4. coordonnées, x et y, données par les for
mules
ro^-j-nx" *& + *&'
X ss ■ ■ ■■-'-. V — - -
. m -\~n ' wi + n
£i Mj
26 LIVRE I. — GHAP. I.
Prenons un certain nombre de points, disposés d'une manière
quelconque dans le plaû; soient À t ,
A t , A,, À* (fig. i5) ces points; x % et
Mj y tt x t et y 2 , a? $ et y 8 , x n et y n leurs
A coordonnées, m^m^ m 8 , m n des coeffi-
__ cients qui leur sont affectés.
Sur la droite A t A t , déterminons le
Pig. 15.
point M t de telle sorte que
A t M t ce point aura pour coordonnées
4 w^ + ro, ' m ï -\-m t *
Maintenant» joignons M f A, et prenons te point M f tel que
ce point aura pour coordonnées
x' — m ' Xi + m%x * + m * x * t/ — m * y * + ^ "*" m * y *
Si à présent on joignait M t A 4 * et qu'on prit M 8 tel que
puis que l'on continuât de la même manière* on obtiendrait finalement un point M nM ayant pour coordonnées
"~ i ~~ fn i + m % + m z + ...m n
RAPPORf ANHÀRMOMQUE. 27
C'est ce dernier point que Ton nomme centre de$ distances proportionnelles des points donnés. La forme des expressions de ses coordonnées montre que l'on arriverait au même point si Ton suivait un autre ordre en joignant les points donnés.
Si tous les coefficients m 1 , m, , m, , m* sont égaux entre eux, les Valeurs de oi n ^ et j/ n-l deviennent
v - *t +*> + "•+ ** ,/ y*-f yi + '«« + y»
Dans ce cas particulier, le point M,^ prend le nom de centre des moyennes distances des pointa donnés.
31. — Comme application de ce qui précède, considérons un a triangle ABC (fig, 1 6) dont les sommets sont
affectés des coefficients m, n, p, et cherchons le centre des distances proportion* nelles de ces trois sommets.
Si nous prenons sur BC le point A' tel q ue = P ^ i e centre cherché sera sur AA'. Il sera de même
sur BB\ si 1 on a ^rr = — ; et sur GC\ si 1 on a ^tk = — . Le
jjA p Iid m
centre étant sur chacune de ces lignes, celles-ci se coupent en un même point 0, qui est le centre cherché.
Si l'on convient de compter, sur un même côté du triangle, les segments déterminés par les points A', B v , C, à partir des sommets A , B , C , et de les prendre avec le signe + on le signe — suivant leur sens, les rapports servant à déterminer A', B', C peuvent s'écrire
C\'~~~n' AB'~ p* BC'""" m 9 et comme, en multipliant ces égalités membres à membres,
on a
BA' . Cff. AO CA' . AB\ BC
on voit que :
Si trois droites, partant des sommets d'un triangle, se rencontrent en un mime point, elles déterminent, sur les côtés opposés, six segments tels que le rapport du produit de trois d'entre eux non consécutifs au produit des trois autres est égal à —i.
Il est facile de démontrer la réciproque de ce théorème, réciproque qui peut s'énoncer ainsi :
Théorème II.
Si trois points, situés sur les côtés d'un triangle, sont tels que
le rapport du produit de trois segments non consécutifs au produit
dés trois autres soit égal à- — 1 , les droites gui joignent ces points
aux sommets opposés se coupent en un mime point.
32. — Dans le triangle ABC (fig. 1 7) , menons la droite CB',
qui coupera le côté BC au point A',.
Le point A' t étant le conjugué harmonique du point A' par rapport aux sommets B et G (n° 1 9) , on a
