CHAPITRE II

Tliéorio des pôles et des polaires*

33, — Considérons la courbe représentée par l'équation

équation que nous supposerons algébrique, entière et du degré m. Nous savons que la tangente à cette courbe, au point dont les coordonnées sont x et y, a pour équation

(X*)/^ + (Y-y)/",= o, ou bien

xr.+v f »-(*r.+*r.)=<>.

Les coordonnées x et y du point de contact entrent au degré m dans cette équation ; mais il est possible de faire disparaître les termes du degré m* Remplaçons, en effet, dans l'équation (i),

x par - , y par - et multiplions ensuite par sr ; le premier

membre de cette équation deviendra un polynôme du degré m en x, y et z> et, comme ce polynôme sera homogène par rapport à ces trois lettres, si nous les désignons par f{x, y, z) , nous aurons l'identité suivante :

d'où

Or si nous remplaçons, dans cette seconde identité , x et y, par les coordonnées du point de contact, et * par l'unité, le premier membre se réduit à l'expression xf r x + y f' y telle qu'elle entre dans l'équation de la tangente, et le second membre, dont le premier terme s'annule, puisque le point de contact est sur la courbe, se réduit à la valeur que prend — zf s quand on y fait z = 1. Nous pouvons donc remplacer, dans l'équation de la tangente, xf x + y(\ par cette valeur de — zf*. Ce changement met l'équation de la tangente sous la forme

et comme il faudra remplacer z par l'unité quand on aura calculé les dérivées partielles de f(x,y,z), si nous convenons de remplacer aussi Z par l'unité, nous pourrons écrire l'équation de la tangente sous la forme très-symétrique

34. — Considérons maintenant un point quelconque p, ayant pour coordonnées x t et y i et cherchons les tangentes qu'on peut mener de ce point à la courbe donnée. Celle de ces tangentes dont le point de contact aura pour coordonnées a? et y sera représentée par l'équation (2) ; or cette tangente passe par le point p; donc l'équation (2) sera satisfaite quand on y rèmpla* cera X par x t et Y par y t , ce qui donne la relation suivante :

relation qu'on écrira sous la forme symétrique

et dans laquelle on remplacera z et z x par l'unité.

On voit par là que les coordonnées des points de contact sont déterminées par l'équation (3) jointe à l'équation (1) de la courbe. L'équation (3) étant du même degré m — 1 et l'équation (1) du

degré m , il y aura en général un nombre de points de contact, et par suite de tangentes, égal à m (m — 1). Le plus souvent quelques-unes de ces tangentes seront imaginaires.

Lorsque m est égal à 2 , le nombre des tangentes est aussi égal à 2. Par un point pris dans le plan d'une courbe du second degré on peut donc mener à cette courbe deux tangentes réelles

ou imaginaires,

Théorème I.