Si par un point p , pris dans le plan d'une section

conique, on mène une sécante quelconque mm' (fig. 18), le point p', conjugué harmonique du point p par rapport aux deux points d'intersection m et m! de la sécante et de la courbe, décrit une ligne droite, lorsque la sécante tourne autour du point p.

Fig. i8. Représentons, en effet, par

f(x, y) = Ax* + Bxy + Cy* + Dx + Ey + F = o,

l'équation de la section conique; et par x t et y t les coordonnées du point p. La sécante pmm! sera représentée par les équations

Si Ton désigne par a et 6 les cosinus des angles que la sécante fait avec les axes, et par p la distance du point p au point de la droite dont les coordonnées sont x et y. Ces équations donnent

et ces valeurs de x et de y, portées dans l'équation de la sec*

THÉOiUE DES POLES £T DES POLAIKES. 33

tion conique, fournissent une équation du second degré en p, dont les racines sont les distances du point p aux points m et tri. Cette équation en p , qui est

(A* + Bab + c* v + («r« + *r f «ÎP + fl*i , *) = o , ayant pour racines p' et p", l'équation

A*. • J/*î p + W-. + *r,J J + Aa* + Ba6 + Cfr* =

aura pour racines n et - r7 , d'où il suit que

Or, si nous appelons p t la distance du point p à son conjugué harmonique p' par rapport aux points m et m', nous avons

/* — - *' •" «" * Pi P P

et par suite

d'où

Pi /[«iiîfi)

«Pif*i + *p/*i + 2f (*„&)=<>.

Gomme le point p' est sur la sécante mm\ ses coordonnées a? et y satisfont aux équations (4) de cette sécante, et l'on a

- — r Pi

En remplaçant dans l'équation précédente ap 4 et 6p t par les valeurs que nous trouvons ainsi, nous obtenons l'équation

(W (* - * t ) Ai + (y - y i) r.t + V(*i. yi) = ° *

gui, ne contenant plus les quantités a et 6 , représente le lieu du point p. On voit que ce lieu est une droite.

L'équation (5) peut se transformer et se mettre sous la forme symétrique

(6) xf xl + yf vx + %f n = ;

pour opérer cette transformation on suivra exactement la même marche que pour transformer l'équation de la tangente. Dans l'équation (6), comme dans l'équation (2), on remplacera aussi z et z t par l'unité.

La droite représentée par l'équation (6) s'appelle la polaire

du point p, et, réciproquement, on dit que le point p est le pôle

de cette droite.

On peut voir à priori que les points de contact des tangentes menées à la courbe par le point p sont situées sur la polaire de ce point : il suffit pour cela de remarquer que lorsque la sécante devient tangente, les pointe m et m' se confondant, il faut, pour

que l'équation — = -, -f -* soit satisfaite que le point p r vienne

Pi P P

aussi se confondre avec les points m et m'. Il en résulte que la polaire du point p coïncide avec la corde des contacts des tangentes menées du point p à la courbe.

36. — Pour reconnaître comment varie la position de la polaire du point p quand on fait varier dans le plan de la cotirbe la position de ce point, considérons d'abord une ellipse, que nous rapporterons au diamètre passant par le point p, pris pour axe des #, et au diamètre conjugué du précédent, pris pour axe des y. Cette ellipse aura pour équation

et la polaire du point p sera représentée par Féquâtion

X SCS -

ce qui montre que cette polaire est parallèle à Taxe des y, c'està-dire aux cordes que le diamètre op divise en deux parties égales (fig. 19), et qu'elle se déplace, en restant constamment

parallèle à cette direction lorsque le point p se meut sur la droite ox. Quand le pôle est à l'intérieur de la courbe, en p', T par exemple, la polaire est à l'extérieur, en P'. D'abord située à l'infini, elle se rapproche jusqu'à Fig. \ 9. devenir tangente en a à la courbe

donnée, lorsque le pôle va du point o au point a. Quand le pôle devient extérieur, la polaire devient intérieure, et elle se rapproche indéfiniment du diamètre oy lorsque le pôle s'éloigne / à f infini sui* le diamètre ox.

Dans le cas de l'hyperbole, on obtient dé» résultat» tout-à-fâit analogues lorsque le diamètre op est un diamètre transverse; mais il n'en est plus de fiiftaie quand op est un diamètre imaginaire. Alors le pôle et la polaire , au lieu de se trouver d'un même côté du centre, sont situés dé part et d'autre, et la polaire coupe toujours la courbe en deux points* Ces résultats se déduisent immédiatement de la forme que prend l'équation delà polaire, quand on rapporte la courbe* comme on l'a fait pour l'ellipse, au diaflftètre qui passe par le pôle pris pour axe des x, et au diamètre conjugué pris pour axe des y.

Ce choix d'axes coordonnés n'est plus possible quand le pôle est situé mt l'une des asymptotes. Si l'on rapporte alors la courbe à Ses asymptotes et qu'on forme l'équation de la polaire,* cette équation montre que la polaire est parallèle à l'asymptote sur laquelle le pôle est situé.

Enfin , lorsque la courbe est une parabole , il est évident , puisque la parabole est la limite d'une ellipse , cfuè là polaire est parallèle aul cordes que le diamètre passant par le pôle ditise en deux parties égales. C'est ce que montre immédiatement l'équation dé la polaire quand on pftnd, pmt a*é dès $ lé dia-

mètre qui passe par le pôle et pour axe des y la tangente au point où ce diamètre coupe la courbe. Cette équation montre en outre que le pôle et le point où la polaire coupe Taxe des x sont de part et d'autre de l'origine des coordonnées, et à égale distance de ce point.

37. — On a vu qu'à tout point, pris dans le plan d'une courbe du second degré, correspond une droite polaire; réciproquement, à toute droite correspond un pôle. En effet, on obtiendra, en identifiant l'équation tnx + ny + p = o avec l'équation (6) , les deux relations

f xi / yi / M

relations qui détermineront les coordonnées x t et y l d'un point qui aura pour polaire précisément la droite donnée.

TËkémrémke EL

38. — Si , par un point p pris dans le plan d'une section conique, on mène deux sécantes quelconques, qui coupent la courbe

Tune en m et en m', l'autre en n et en n', les droites mn et m'n' ainsi que les droites mn' et m'n , se coupent sur la polaire du point p.

En effet, soient p' et p" (fig. 20) les points des sécantes ptnrri et pnn' conjuguées harmoniques du point p par rapport aux points m et ro\ n et n' : ces points appartiennent à la polaire du point p par rapport à la courbe. Or le système des deux droites mnq et m'n'q pouvant être regardé comme une courbe du second degré, on peut prendre la polaire du point p par rapport à ce système de droites, et cette polaire sera une droite passant par les points p' et p". Donc la polaire

du point p par rapport à la courbe et la polaire du même point par rapport au sytème des deux droites qmn et qm V ont deux points communs, Il en résulte que ces droites coïncident, et, comme la polaire du point p par rapport au système des droites passe évidemment par le point g, l'autre polaire passe aussi par ce point. On verrait de même qu'elle passe par le point d'intersection q 1 des droites mn 1 et nm'.

Ce théorème donne un moyen de construire la polaire d'un point donné p : il suffit de mener par ce point deux sécantes pmm\ pnn' ; de tirer les droites mn et m'n 1 qui se coupent en q et les droites mn! et m'n qui se coupent en q' : la droite qq' est la polaire du point p.

Théorème III.

39. — Étant donnée une section conique, si par un point p on mène une sécante quelconque qui coupe la courbe aux points m et m', les tangentes en ces points se rencontrent sur la polaire du point p (fig. 21).

Ce théorème n'est qu'un cas particulier du précédent : c'est le cas où les points metn, m' et n' (fig. 20), venant à se confondre, les sécantes nmq, n'm'q deviennent tangentes à la courbe (fig. 21).

Le mode de détermination du point q montre que ce point est le pôle de la sécante pmm! ; de là ce théorème :

Quand une droite pmm' tourne au tour d'un point fixe p, son pôle q décrit une droite P qui est la polaire du point p.

Fig. 21.

UVBE T. — CHAP. H.

Théorème IV,

40. — • Réciproquement, lorsqu'un point décrit une droite P, sa polaire tourne autour d'un point fixe p qui est le pôle de la droite P (fig, a*).

Soit, en effet, q une quelconque des positions du point mobile sur la droite P. Menons qm tangente à la section conique ; joignons le point rn au point p, et soit m' le second point de rencontre de la droite mp avec la courbe, Si nous menons par m une tangente à la courbe, le point d'intersection de cette tangente avec qm sera le pôle de la droite mm'. Or d'après le théorème précédent ce pôle est sur la droite P, et par conséquent coïncide avec le point q. Donc la droite mm! est la polaire du point 9, et sa construction montre qu'elle passe par le point p.

Théorème V.

il. — Quand un quadrilatère abcd est inscrit dans une conique (fig. 22), les points de concours eetf des côtés opposés et les points de concours g et h des tangentes aux sommets opposés sont situés sur une même droite, qu'Us divisent harmoniquement. D'abord ces points sont en ligne droite; car ils appartiennent

tous à la polaire du point d'intersection des diagonales du quadrilatère; ensuite ils forment une proportion harmonique. En effet, «0, polaire du point f, coupe la droite fdb en un point n conjugué har- Fi g . m. monique de f par rapport aux

points d et 6, et il est évident q.ue les quatre points e, /, g, h se trouvent sur les droites qui joignent le point I aux quatre points n, /, d, b.

Cette démonstration prouve en même temps que chaque côté

du triangle eof passe par deux points de concours des tangentes aux sommets du quadrilatère et est divisé harmoniquement par ces deux points de concours. Elle prouve aussi que, dans un quadrilatère circonscrit à une conique, si Ton groupe arbitrairement les côtés en deux couples, puis qu'on joigne par des droites les points de contact des côtés d'une même couple et les points de rencontre des côtés de couples différentes , les quatre droites ainsi obtenues passent par un môme point et forment un faisceau harmonique.

Théorème VI.

42» — Étant d<mnéê$ deux coniques dane un plan, il y. a, dans ce plan, trois pôles doubles, c'est-à-dire trois points^ réel$ ou imaginaires* qui ont même polaire par rapport aux deux

coniques.

En effet, deux coniques se coupent en quatre points réels ou imaginaires, ce qui donne Heu à trois couples de sécantes communes, et il résulte du théorème II que le point d'intersection de deux sécantes communes d'une même couple est un pôle double.

Il n"y a cT ailleurs que ces trois pôles doubles ; car si p t (fig. 23)

est un pôle double et qu'on le joigne à l'un des quatre points d'intersection a par une droite p t a qui coupera les coniques aux deux autres points V et 6", il faut, pour que le conjugué harmonique du point p { par rapport à ab' et par rapport à ab" soit le même, que 6' coïncide avec 6", c'est-à-dire que la droite p i a se confonde avec une sécante commune. Ainsi donc le point p t doit appartenir à une sécante com - Fig. î3. mune ; on montrerait de même qu il

doit appartenir à une seconde sécante commune; et, par conséquent, qu'il doit être à l'intersection de deux sécantes d'une même couple.

Les trois pôles doubles m, n, p, forment un triangle dont chaque sommet admet pour polaire le côté opposé par rapport aux deux coniques.

Il y a de même dans le plan trois polaires doubles et trois seulement, puisque la polaire de chaque pôle double est une polaire double ; ce sont les cotés du triangle mnp.

Si les coniques se coupent en quatre points réels, il est évident que les trois pôles doubles sont réels ; si les coniques se coupent en quatre points imaginaires, les trois pôles sont encore réels, car deux des sécantes sont réelles, et les autres étant imaginaires conjuguées ont leurs points d'intersection réels; mais si les courbes n'ont que deux points d'intersection réels, il n'y a qu'un pôle double réel.

Les quatre tangentes communes à deux coniques forment unquadrilatère complet dont le» trois diagonales sont les polaires doubles.

Soient ac, bd deux tangentes communes (fig. 24); a, c, 6, d, leurs points de contact ; m le point de rencontre des droites ab, cd. Le point m a pour polaire, par rapport aux droites ac, bd, et par conséquent par rapport aux deux coniques, une droite qui passe par le ** **■ point d'intersection i des

ac, bd. Ce point m est donc un pôle double et

THÉORIE DES PÔLES ET DES POLAIRES. Al

se trouve à l'intersection des sécantes communes q et r. On verrait de la même façon que les droites ef, gh, menées par les points de contact des tangentes communes eg> /ft, ont pour point d'intersection un pôle double, dont la polaire passe par le point ft, et qui n'est autre que le point m. Donc (a polaire double du pôle double m passe par les points i et k ; donc la diagonale tk, qui est Tune quelconque des trois diagonales du quadrilatère formé par les tangentes communes, est une polaire double.

Théorème VIII.

44. — Soient une conique et un point fixe p, on peut toujours, et d'une infinité de manières, mener par le point p deux droites telles que le pôle de chacune d'elles soit sur Vautre.

En effet, menons par le point p (fig. 2 5) une droite quelconque qui coupe en a la polaire P du point p.* Le pôle de cette droite pa est sur la droite P (3g) , au point a! conjugué harmoniqne de a par rapport aux points 6 et c. La droite pal a de même son pôle sur P, au point a con- Fig. 25. jugué harmonique de a! par rapport

aux points b et c ; donc chacune des droites pa, pa\ a son pôle sur l'autre. Gomme la droite pa est arbitraire, il y a une infinité de couples de droites remplissant la même condition; et comme les droites pa, pa' de l'une quelconque de ces couples sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes p6, pc, toutes ces droites forment, autour du point p, un faisceau en involution, dont les droites doubles sont les deux tangentes p6, pc menées à la conique par le point p (n? 28).

LIVEE I. — CBAP. II.

45. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui de leurs quatre polaires.

En effet, joignons ces quatre points situés sur une même droite au pôle de cette droite : leurs quatre polaires passent par ce pôle et sont les conjuguées, dans un système en involution, des quatre droites précédemment menées (n°44)« Elles ont donc même rapport anharmonique que ces quatre droites ou que le système des quatre points en ligne droite.

Théorème X.

46. -~- Étant donnés une conique et deux points fixes, le rapport des distances de ces deux points à une droite quelconque est proportionnel au rapport des distances du pôle de cette droite à deux droites fixes, qui sont les polaires des deux points fixes.

Soient a et 6 (fig. 26) les deux points fixes, M une droite

quelconque ; m le pôle de la droite M; p le pôle de la droite ab ou P; À et B p les polaires des points a et b ; a' et 6' les points où A et B coupent P ; enfin c le point où M coupe P. Le rapport des distances du Fig. m. point m aux droites À et B

est égal à -. — \^-J. , et .celui des distances des points a et b

sm (B,C) r

à la droite H est égal à-. Or, sur la droite P, les points a

et a\ b et b\ c et c' forment (n° 44) un système en involution. Dans ce systèmes considérons les points a, 6, c, 00 ; ils ont pour

conjugué» les points a\ b\ c', t, ce dernier étant le milieu de la corde ef, et Ton a

ûc # ûqq de' m di

ou

ao dd ^ di bc~~Ûc' : VV

mais

donc

de' di sin(A,C) sin (a,Î)

. ^ : Vi-^nm : ^î^) 9

ac __ sin ( A,C) sin (B ,j) fc~«in(B > C) X ^J)'

On voit par là que le rapport p eut égal au rapport --^rpr

multiplié par un facteur constant - — W-V* • r r sm (A,I)