FIGURES POLAIRES RÉCIPROQUES

47. — Lorsqu'une figure plane est composée de droites et de points, si Ton prend, par rapport à une même section conique, les pôles de toutes ces droites et les polaires de tous ces points, on forme une nouvelle figure composée, elle aussi, de droites et de points; et si Ton opère sur cette nouvelle figure comme sur la première, c'est-à-dire si Ton prend, par rapport à la section conique déjà employée, les pôles de toutes les droites et les polaires de tous les points delà seconde figure, on retrouve la figure proposée. Pour cette raison les deux figures sont dites figures polaires réciproques.

On voit ainsi qu'à chaque point de l'une des figures correspond une droite de l'autre et réciproquement ; et des théorèmes que l'on a démontrés sur les pôles et les polaires, il résulte qu'à la

Fig. «7.

droite qui joint les points a et c (fig. 27) de l'une des figures,

correspond, dans l'autre, le point d'intersection des polaires A et G de ces deux points, et réciproquement, qu'au point d'intersection de deux droites A' et G' de l'une des figures correspond la droite ac qui joint les pôles a et c des droites A' et G. Il en résulte encore que si plusieurs points de l'une des figures sont en ligne droite, les droites qui leur correspondent dans l'autre passent par un même point, et que, réciproquement, si plusieurs droites de l'une passent par un même point, les points correspondants de l'autre sont sur une même droite.

48. — Si l'on considère une courbe plane S et une tangente A à cette courbe et que l'on fasse rouler la tangente sur la courbe, le pôle cl de la tangente A, par rapport à une section conique déterminée, se déplacera dans le plan, pendant ce mouvement de la tangente, et y décrira une courbe S' qui sera le lieu des pôles des tangentes delà courbe S (fig. 28). On peut voir aisément que la courbe S est aussi le lieu des pôles des tangentes de la courbe S'. En effet, considérons le point a! de la courbe S' et le point voisin 6' : le premier est le pôle de la tan- Fig# 28 gente A de la courbe S et le

second le pôle de la tangente B. Par conséquent, la droite a'V a pour pôle le point d'intersection m des tangentes A et B. Or quand le point V se rapproche indéfiniment du point a\ la droite a'b' tend vers la tangente au point a'; pendant ce mouvement du point 6' la droite B se rapproche indéfiniment de la droite A, et le point m du point a. Donc la tangente en un point

quelconque al de la courbe S' a pour pôle un point a de la courbe S. Pour cette raison les courbes S et S' sont dites courbes polaires réciproques.