Lorsqu'on connaît l'équation

F(ar, y) = o,

d'une courbe S, algébrique et du degré m, on peut facilement trouver l'équation de la courbe polaire réciproque S'.

En effet, soit f{x 9 y) = o l'équation de la courbe S', et a?, et y, les coordonnées d'un quelconque de ses points. La polaire de ce point a pour équation

x^+y^+zr.^0.

Or cette polaire est tangente à la courbe S en un certain point dont les coordonnées sont x et y. Par conséquent l'équation de cette tangente

XFVfYF; + ZF,=:o

représente la même droite que l'équation de la polaire, et Ton a

[m tjh fji

F'. "" F f "" FV

On obtiendra l'équation de la courbe S', en éliminant x et y entre les deux équations que l'on vient d'écrire et l'équation de la courbe S.

50. — Nous savons qu'on appelle degré d'une courbe algébrique plane le nombre de points réels ou imaginaires suivant lesquels cette courbe peut être coupée par une droite. On appelle classe d'une courbe plane, le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener d'un même point à cette courbe, et nous avons vu au n° 34 que la classe d'une courbe algébrique de degré m est représentée, en général, par l'expression ro(m — î).

51. — Deux courbes polaires réciproques S et S' (fig. 2 9) sont telles que la classe de chacune est égale au degré de l'autre. Soient, en effet, a,b,c,. . .les points où la droite Pcoupe la courbe S ;

les polaires À\B',G',....

de ces points sont tangentes à la courbe S' et passent toutes par le pôle p' de la droite P; on peut donc par ce point p' mener âlacôurbe S' un nombre de tan- Pi g . 29# gentes exactement égal

au nombre des points suivant lesquels la droite P coupe la courbe S.

Réciproquement le degré de la courbe S est égal k la classe de la courbe S', car, à chacune des tangentes A',B\C... que l'on peut mener d'un point p' à la courbe S', correspond ffl* poittt de la courbe S, et ces points, a, 6, «,.... sont sur une même ligne droite P, puisque les tangentes A',B',C... passent par un même point.

52. — L'expression générale que l'on a donnée (n° 5o) de la classe d'une courbe algébrique du degré m, montre que les courbes du second degré appartiennent à la seconde classe. Il en résulte, d'après ce que nous venons de démontrer, que la courbe polaire réciproque d'une cottrbe du second degré est une courbe du second degré.

L'espèce de cette courbe dépend de la position de là section

conique directrice. Si le centre (fig. 5o) de cette directrice est extérieur à la courbe S, on pourra, du point 0, mener deux tangentes à cette courbe, et, les pôles de ces tangentes étant rejetés à l'infini, la comte S' aura deux branches infinies, dans deux directions cttf-

Fig. 30.

férentes, c'est-à-dire sera une hyperbole. D'ailleurs les polaires A' et B' des points a et 6 où les tangentes aO et 60 touchent la courbe S, sont tangentes à la courbe S' et la touchent aux points qui sont les pôles des droites aO et 60. Ces polaires sont donc les asymptotes de la courbe S'. Quand le centre est situé sur la courbe S, on ne peut plus mener de ce point à cette courbe qu'une seule tangente ; les pointe de contact a et 6 coïncident avec le point 0, et leurs polaires A',B' se confondent et sont rejetées à l'infini, de façon que la courbe S' devient une parabole. Enfin, lorsque le centre passe à l'intérieur de la courbe S, comme ou ne peut mener de ce point à. cette courbe aucune tangente réelle, la courbe S' n'a aucun point à l'infini, et, par suite, est une ellipse.

63. — Dans le cas particulier où la courbe directrice est un cercle de rayon r (fig« 3i), il est évident que la polaire A' d'un

point quelconque a est perpendiculaire à la droite oa et, par suite, que les polaires A' et B' de deux points a et 6 font entre elles un angle égal à l'angle ao6. D'ailleurs si l'on désigne par h les points de rencontre des droites A' oa> par g le point de rencontre des droites B f et 06, on peut voir facilement que Ton a

oA.oa = o</.o6 = r 2 .

Gela posé* meows les droites et et of parallèlement aux polaires B' et A', et les droites ae et bf perpendiculairement aux mêmes polaires. Les triangles rectangles oae, ohf étant semblables* dqhs aurons

oa ae ac -+■ ce ac -f- ùg

iï^Vf^bd + df^bd + oà*

d'où

oa{bd + oh) = ob(ac + og),

d'où encore, en tenant compte del'équation (i),

oa.odz=zob. ac.

On peut écrire cette dernière égalité

oa ac ob bd '

et, sous cette forme, elle montre que les distances des deux points a et 6 au centre o sont proportionnelles aux distances de chacun de ces points à la polaire de l'autre.